Thread by @genkuroki

#超算数 見事に何が問題とされているかを全然理解できていない。

https://twitter.com/tani6s/status/1479014704597331970

#超算数 【等号「=」の意味の違い】だと説明しようとしている点があまりにも杜撰すぎる。これはひどくデタラメな説明だと言って問題ない。

あと、常識的にはx=x+1やx=xも「その等式を満たす実数xの全体を求めよ」の形で方程式扱いされるので、添付画像の方程式の説明もおかしいです。

https://twitter.com/genkuroki/status/1478244943785512961

#超算数 【等号「=」の意味の違い】とする説明が批判されているのに、それとは違う杜撰な要約をして、以下のリンク先のように、等号「=」の意味の違いとは全然違う話を始めた。

しかも、その内容もかなり杜撰。

https://twitter.com/tani6s/status/1479015990294097923

#数楽 「:=」記号は確かに便利なのですが、「a := 2」と書く代わりに、「a = 2 であると仮定する」と書けば「:=」を使わずに「=」記号だけで押し通せます。

定義や仮定の文脈で変わるのは等号記号の意味ではなく、「～と仮定する」のようあ等号記号以外の部分です。

#数楽 「〇〇を満たす△△を(すべてもしくは1つ以上)求めよ」の型の問題で〇〇の部分が等式のとき、その等式部分を「方程式」と呼ぶことがあるだけで、等式自体がそういう文脈抜きに方程式になったりならなかったりする訳ではありません。

#数楽 【「子供に方程式と恒等式の区別をさせることの是非」みたいな話が盛り上がっていたみたいだけど、～】という要約の仕方は実際に行われている議論の要約としてあまりにも杜撰すぎて、相当にあきれたものだと私は思いました。

#超算数 なべきちさんは【「=」の意味の違い】という言い方を問題にしていて、教科書には本当にそう書いてあり、その線での反応があったのに、

【「子供に方程式と恒等式の区別をさせることの是非」みたいな話が盛り上がっていたみたいだけど、～】

と極めて不適切な議論の要約をしている。酷い。

https://twitter.com/tani6s/status/1479014704597331970

#超算数 算数数学教育における奇妙な教え方の話題では、資料を見ずに現実に行われている教え方について勝手な推測を積み重ねて反応すると失敗します。

教科書に本当に書いてある【「=」の意味の違い】という言い方の問題を指摘したなべきちさんは鋭いと思いました。

#超算数 【「=」の意味の違い】という説明の問題点の指摘は「揚げ足取り」ではありません。これは

恒等式の説明

と

【文字に特例の値を代入したときだけ成り立つ等式】を方程式だと定義すること

の組み合わせという19世紀の時代遅れの解説を21世紀現代の教科書に載せているという問題です。続く

https://twitter.com/tani6s/status/1479023036712222721

#超算数 19世紀の英語圏での教科書には

identity (恒等式)

と

conditional equation (単にequationともいう、文字に特別な値を代入したときにのみ成立する等式)

の組み合わせで解説が書いてあり、その時代遅れの流儀で21世紀の教科書を書いているせいでおかしなことになっているのです。

https://twitter.com/genkuroki/status/1000411283236077569

#超算数 私はこういう事情を以前に調べて知っていたので、純粋に自分自身の感覚で【「=」の意味の違い】という説明の仕方がおかしいことを指摘したなべきちさんが鋭いと判断した訳です。

こういう話題について「揚げ足取り」だとみなすこともまた酷いと言わざるを得ません。

#超算数 これも酷い言い方で、【「=」の意味の違い】という説明の仕方を批判した人達の多くが、代替の説明の仕方を提案しています。

多くの人達がそのようにして代替案を気軽に話すことの積み重ねは非常に大事なことだと思う。

谷村さんが最初にするべきことは「自分の誤りを認めること」です。続く

https://twitter.com/tani6s/status/1479091046722453505

#超算数 谷村さん自身も引用しているなべきちさんによる発言と教科書の引用から【「=」の意味の違い】という説明の仕方が問題にされていることは明らかで、谷村さんが最初から議論の主題を何も理解していなかったことは誰の目にも明らかです。

谷村さんはまずはそういう自分自身の誤りを認めるべき。

#超算数 理系の数学が得意な研究者が、算数数学教育の話題について、議論の内容をよく理解せずに発言してしまい、その誤りを指摘されても素直に自分の側が間違っていたことを認めることができなくなる、というような事例にはここ10年の間何度も出会いました。相当に普遍的。

これもまた頭の痛い問題。

誰にでも勘違いコメントはあるのだから、ゲラゲラ笑いながら「自分の側が一方的に酷いことを言ってしまった」と言ってくれればそれでお終いになる問題なのに、妙にこじれてしまいがち。

#超算数 通常の場合には、等号記号「=」は単に両辺が等しいという意味しか持たず、「恒等式」「方程式」「代入」「定義」であるかどうかは等号記号「=」以外の何かによって説明される必要があります。(当たり前の話ですよね！)

そういう説明が略されていたら、自分でそれを補う必要がある。

https://twitter.com/genkuroki/status/1285226232297078784

#超算数 谷村省吾さんは、こういう真っ当な議論について、「揚げ足取りは建設的でない」だの、「そんなに不満なら自分でもっといいものを出せばいい」だの、相当に酷いことを言っているわけで、こういうのはかなり参る。

言い訳抜きで酷い発言を繰り返したことを早く認めて欲しいです。

#超算数 ある中学1年生の教科書によれば

【拓海さんは，2x+3x=5xは方程式ではないと考えました。方程式でない理由を話し合ってみよう。】

現代の常識では、「2x+3x=5xを満たす実数x全体の集合は何になるか？」の文脈で「2x+3x=5x」は方程式だとみなされます。

話し合わせるのも酷い。

https://twitter.com/sekibunnteisuu/status/1478227812113076224

#超算数 教科書に「2x+3x=5x」という等式を見ただけで方程式か否かを判定できるかのように書かれてしまっているのは、教科書執筆者の注意不足による間違いの類ではなく、19世紀のconditional equationの説明をそのまま21世紀の教科書に載せてしまっているのです。

「揚げ足取り」という論評は誤り。

関連スレッド

教科書の部分的な「改善」について、SNSでの議論の影響が疑われる場合もあるようです。

https://twitter.com/genkuroki/status/1479315384323174400

#超算数 まずは「方程式という用語の説明の仕方が19世紀の時代遅れのconditional equationの説明になっているせいで、生徒が分からなくなっているのか」それとも「数学的内容自体を理解していないのか」を判別するために、「方程式」という用語を使わずに本質的に同じ問題を出してみるべきだと思う。

https://twitter.com/genkuroki/status/1479316238048567296

#超算数 ancafeさんが正しいです。

恒等式や方程式が何であるかは【等号の意味の違い】の話ではないので、【「等号の意味の違いを考えてみよう」と読者に呼び掛け】ているその教科書は高校生をデタラメな考え方に誘導しているから批判されているのです。

https://twitter.com/tani6s/status/1479104341525303299

#超算数 これも酷い。

【「=」の意味の違い】だと説明することをやめてまともな説明に置き換えるべきだという議論を、谷村さんは【不合理な不寛容】の【悪徳】だと示唆しているように見える。

実際には谷村省吾さんがこの件については何も分かってないという多くの指摘の多くを無視しているだけ。

https://twitter.com/tani6s/status/1479468628508803076

#超算数 谷村省吾さんは、なべきちさんによる【「=」の意味の違い】という言い方への違和感の表明から始まる議論を、【「子供に方程式と恒等式の区別をさせることの是非」みたいな話】だと不適切に要約してしまった誤りを認めるべき。

その誤りを認めずに別の話を始めて誤魔化しちゃダメ。

https://twitter.com/tani6s/status/1479014704597331970

#数楽 通常「=」の意味は「両辺が等しい」だけです。恒等式、方程式、定義の違いは「=」以外の部分によって表現されます。

「x=xは恒等式」=「等式x=xはxにどんな数を代入しても成立している」

「方程式x=xを解け」=「等式x=xを満たす数xをすべて求めよ」

「a=2と定める」=「a=2と仮定する」

#数楽 「a=2と定める」「a=2とおく」「a=2と仮定する」が同じ意味なだけではなく、「2=aと仮定する」も同じ意味です。等号記号「=」自体に「～とおく」というような意味はなく、等号記号「=」とは別に書かれている言葉によって「～とおく」ことが表現されています。

#数楽 恒等式、方程式、定義などについて、某教科書のように

❌【「=」の意味の違い】

という説明の仕方をすることは間違った考え方に誘導することになります。

⭕️式を書いただけで十分に説明したつもりになってはいけない。

という方向で丁寧に説明するべき事柄です。

#数楽

⭕️式を書いただけで十分に説明したつもりになってはいけない。

ということを十分に理解していないと、

⭕️等号記号「=」は単に「両辺が等しい」という意味しか持たない。

としても何も困らないことを納得できないと思います。

この辺は算数教育の段階から相当に問題がある部分です。

#超算数 関連スレッド
↓

https://twitter.com/genkuroki/status/1479557112087064577

#超算数 「量の理論」は危険物扱いが妥当で、安易に肯定的に評価して世に広めたりしてはいけない。

#超算数 QmQさんが正しい。

谷村省吾さん曰く【等号「=」自体に意味があるわけではない】

「=」には「両辺が等しい」という意味がある。

谷村さん曰く【「定義域と解集合の関係を考えよう」などとするのが適切な読者層か？】

「定義域」「解集合」と言って通じる読者のレベルはかなり高い。

https://twitter.com/tani6s/status/1479814725978714113

#超算数 この鰹節猫吉さんとまったく同様の感想を持ちました。

初学者に「解集合」云々と言って通じるはずがない。

⭕️初学者には「等式3x+2=x+8が成立するような数xをどんな方法でもよいので見付けてみてください」のように教えたらよい

という意見は多く、私もその意見に賛成です。

https://twitter.com/sunchanuiguru/status/1479832082864275459

#超算数 十分な教養の持ち主達が

「=」は「両辺が等しい」という意味を持つが、「恒等式である」とか「方程式である」という意味を持たない

と指摘していることに、谷村さんはすでにお気付きだと思います。

【「子供に方程式と恒等式を区別させることの是非」みたいな話】という要約は酷い誤り。

https://twitter.com/tani6s/status/1479014704597331970

#数楽 数学の理解で重要なのは「恒等式」「方程式」のような言葉の使い方を覚えることではなく、「どんな数xについても等式(x-1)(x+1)=x²-1が成立している」とか、「等式x²-1=0を満たす数xをすべて求めてみよう」のように普通に考えられるようになることです。

そのために必要な素朴な経験が重要。

#数楽 そのように考えるときに、「=」には単に「両辺が等しい」という意味しかないと思っておくとシンプルで分かりやすくなります。

等号記号や等式自体に「恒等式である」「方程式である」「定義式である」のような意味はありません。あるかのように思わされた人達は数学教育の被害者です。

#数楽 中高生に教える側は、初心者の生徒が「方程式」という用語の意味を分かっていないことを前提にして(そもそも数学的内容に理解のために「方程式」という用語の意味を知る必要はない)、「3x+2とx+8が等しくなるような数xをすべて見付けて下さい」のように常に言うべきだと思います。

#数楽 そのように繰り返し言い続けてくれる先生に教わった人達は、

「方程式を解け」が「その等式を満たす数xをすべて見付けよ」と同じ意味であること

や

「x=3はその方程式の解である」は「x=3のときその等式が成立している」と同じ意味であること

を自然に習得できると思います。

#数楽 算数の教え方がまずいせいで、「=」には「左辺の答えが右辺になる」という意味があると多くの人に誤解させてしまっています。

中等教育で【「=」の意味の違い】を教えてしまうとさらに酷いことになります。

「=」の意味は「両辺が等しい」であることをしっかり教えるべきです。続く

#超算数 そのとき重要なのは、「=」に「両辺が等しい」という意味しかなくても、「恒等式」「方程式」「定義式」の扱いで何も困らないことを、それらの用語を使わない言い換えをしつこく繰り返すことによって自然に伝わるようにすることだと思います。続く

#数楽 例えば、「cos² x + sin² x = 1は恒等式である」を「すべての実数xについて、cos² x + sin² x と 1 は等しい」と常に言い換えてあげると親切だと思います。

定義のための等式を単に「a=√2」のように書くのは最悪で、普通は「a=√2とおく」「これ以後a=√2と仮定する」のように丁寧に言うべき。

#超算数 「恒等式」「方程式」「定義式」の区別は「=」の意味の違いによって生じるのではありません。

通常の場合には「=」の意味は「両辺が等しい」だけです。

だから、等式を書いただけでは十分な説明にならないことを常に気にし続ける必要があります、

#超算数 現実には、高校の教科書における有理式の場合の「恒等式」という用語の使い方はかなり有害です。

有害になる理由は、同一の有理式に異なる表示が無数にあり、表示の仕方ごとに異なる定義域があるように見えてしまうからです。

有理式として等しいことの定義をしっかり教える場面がない！

#超算数 例

問題：a/(x-1) + b/(x-2) = (5x-7)/((x-1)(x-2)) が恒等式になるような数a,bを求めよ。

を

(x-1)(x-2)をかけるとa(x-2)+b(x-1)=5x-7.
x=1とすると-a=-2なのでa=2.
x=2とするとb=3.

のような経路で解くと、「x=1,2は定義域から外れているからバツ」と言い出す人たちが出て来る。続く

#超算数 続き。

a/(x-1)+b/(x-2)=(5x-7)/((x-1)(x-2))

の右辺の定義域にx=1,2が含まれていないという理由で、両辺に(x-1)(x-2)をかけて得られる

a(x-2)+b(x-1)=5x-7

の両辺の定義域からx=1,2が除外されると考えているようなのです！

続く

#超算数 有理式として両辺が等しいことの定義を中学高校で説明しないことによって、数学的本質とは無関係のくだらないことを気にしてバツをつけたがる先生が出て来てしまっているのです！

こういうのは非常にまずいです。

#超算数 大学の数学の先生の中にはこの問題を「多項式として等しいことと、多項式に対応する函数として等しいことの区別をしていないことの弊害」と要約する人がいるのですが、中等教育では無限体しか扱わないので、その要約の仕方はひどくミスリーディングで実害の姿を覆い隠しています。続く

#超算数

有理式の取り扱いで上で述べたような数学的実害が発生しています。

同一の有理式には無数の表示があり、表示の仕方によって対応する函数の定義域が違うように誤解してしまう。

x²/xは多項式xに等しいので、それに対応する函数の定義域からx=0は除外されません。

#超算数 有理式として等しいことがどういうことなのかの説明がないせいで、数学的本質から外れたところで、無用に話がややこしくなっている。

しかもそういう数学的本質から外れたスタイルに機械的に従う数学教師が発生している。「x=1,2は定義域から外れているのでバツ」と言って譲らない。😱

#数楽 なべきちさんが引用した教科書の説明にある③の例に関する説明の仕方は、1つ前のツイートで言及した数学的本質から外れたスタイルに機械的に従う数学教師を発生させる主原因になっているように見えます。

有理式については、有理式として等しいことの定義を説明するべきです。

https://twitter.com/nabekichi32/status/1478237540335636482

#数楽 「有理式として等しいこと」について「定義」と呼べるような厳密な説明をすることが重過ぎると感じるなら、

* 多項式は有理式の特別な場合である。

* 2つの有理式が等しいことと、それらに0でない同一の有理式をかけた結果が等しいことは同値。

というラフな説明で十分だと思います。続く

#数楽 続き。その2つから、

* 特に、0でない同一の有理式をかけた結果がどちらも多項式になる場合には、2つの有理式が等しいこととそれらの多項式が等しいことは同値になる。

と言えます。

多項式になってしまえば対応する函数の定義域がどうなるかの問題は消えてなくなる。

#数楽 数学的本質を外れる無用な複雑さを招くような数学の教え方は避けるべきだと思います。

この原則を忘れて、中学や高校の教科書の説明に機械的に従うようでは、何のために苦労して数学を勉強して数学を教えているのか分からなくなってしまうと思います。

そんな数学のどこが面白い？

#超算数 何度見直しても、なべきちさんは教科書のまずい部分を正確に切り取って来ているようにしか見えない。驚くべき正確さ！

これに対する谷村省吾さんの反応の仕方は何が問題なのかを何も分かっていないことが明瞭。人気のある有名な物理の解説者でもあるので、放置できないと私は思いました。

https://twitter.com/nabekichi32/status/1478237540335636482

#超算数 それでは、2つの三角形の面積が等しいの意味で慣習的に

△ABC = △DEF

と書くことについてはどう思えばよいか？

数式は、論理的に絶対に誤解せずに済むように書かずに、省略して書くこともあります。上の式は

△ABCの面積 = △DEFの面積

と書けば誤解の可能性がなくなります。続く

#超算数 続き。2つの三角形の面積が等しいの意味で慣習的　に△ABC=△DEFと書くときには、「△ABCの面積」を(誤解が生じる可能性を許容しながら)「△ABC」と略して書いているだけで、等号「=」の意味が変わったとみなさない方が私はよいと思います。

この辺は色々な意見がありそうなところ。

#超算数 「面倒だ」とか「表記を複雑にしたくない」という理由を優先して、誤解が生じる危険性を許容して、省略された書き方をしている場合は、数学の説明では全然珍しくありません。

例えばLandauの記号 o(Δx), O(n log n) はそのような記号の単純化の典型例だと思います。

#数楽 数学での記号法の運用では、ケースバイケースに最適化されたイーカゲンさに注意を払う必要があります。

多くの情報が省略されている記号法を使う場合には、省略がなくて曖昧さもない説明にいつでも戻れるようにしておく必要があります。

#数楽 「△ABCの面積 = △DEFの面積」のように日本語を混ぜた式の書き方が便利なことは結構多いです。

面積を返す函数をμ( )だとかArea( )のような記号で定義することが重たく感じる場合には、定義せずに言葉を含む式を書くと便利です。

式を正式に定義された記号だけを使って書く必要はないです。

#数楽 数学的内容が分かりやすく伝われば問題ないわけで、

❌式は正式に定義された記号だけを使って書く

とか

❌一切の省略なしに絶対に誤解が生じない書き方をする

のように堅苦しく考える必要はないと思います。