M'han demanat fa una estona si puc explicar el què és una varietat topològica (en anglès manifold).
Suposo que podria donar alguna mena de noció intuïtiva en un parell o tres de tuits. Però això ja ho podeu trobar amb el google i a més no crec que us aportés massa res. El típic concepte matemàtic que "ah vale però jo què sé".
Crec que és molt millor començar per una 🎆BREU INTRODUCCIÓ A LA TOPOLOGIA🎇🎺🎶
(però ara no, que vull fer altres coses, en un altre moment)
Porto més d'un dia pensant-hi i no sé ni com posar-m'hi.
Comencem pel començament: un CONJUNT és una col·lecció de coses que en diem ELEMENTS.
Els conjunts no tenen ni ordre ni repetició, és a dir, el conjunt format pels elements {b,c,b,c,c,a} és exactament el mateix que el conjunt {a, b, c}. La única informació rellevant d'un conjunt és quins elements hi pertanyen i quins no.
Exemples de conjunts. Les lletres de l'alfabet. Les floretes del camp. Els nombres naturals. Els conjunts no són necessàriament finits.
Del conjunt que no té elements en diem el CONJUNT BUIT.
Si tots els elements d'un conjunt pertanyen alhora a un altre conjunt direm que aqueix conjunt és SUBCONJUNT d'aquest.
El conjunt de nombres parells és subconjunt del conjunt de nombres. El conjunt buit és subconjunt de qualsevol conjunt. L'únic subconjunt del conjunt buit és el conjunt buit. Tot conjunt és subconjunt d'ell mateix.
Donats dos conjunts el conjunt UNIÓ és el conjunt format pels elements que formen part d'algun dels dos conjunts. El conjunt INTERSECCIÓ és el conjunt format pels elements que formen part dels dos conjunts alhora.
El producte cartesià ja el deixo per demà.
Un PARELL ORDENAT és una seqüència de dos elements. En aquest cas sí que hi ha repeticions i importa l'ordre. Existeix el parell (a, a) i el parell (a, b) és diferent que el parell (b, a).
Donats dos conjunts A i B, el PRODUCTE CARTESIÀ A x B és el conjunt dels parells ordenats formats per un element de A primer i un element de B després.
El producte cartesià de conjunts té unes propietats similars a la multiplicació de nombres, i de fet si parlem de conjunts finits el nombre d'elements del producte cartesià és igual que la multiplicació dels nombres d'elements dels conjunts de partida.
El producte cartesià entre els conjunts {a, b} i {1,2,3} seria:
{(a, 1), (a, 2), (a, 3),
(b, 1), (b, 2), (b, 3)}
{(a, 1), (a, 2), (a, 3),
(b, 1), (b, 2), (b, 3)}
Una FUNCIÓ és una correspondència entre tots i cadascun dels elements d'un conjunt amb exactament un element d'un altre conjunt. Del primer conjunt en diem DOMINI i del segon en diem CODOMINI.
Hi ha, per exemple, una funció que ens diu el nombre de pètals de cada floreta. El seu domini és el conjunt de les floretes i el seu codomini el dels nombres naturals. 
Un determinat nombre de pètals pot ser tingut per més d'una floreta o també no ser tingut per cap floreta, però totes les floretes tenen un i només un nombre de pètals.
Hi ha la funció que relaciona cada instant de temps del dia d'ahir amb les coordenades geogràfiques d'on em trobava jo. Hi ha la funció que donat un parell de nombres ens diu el resultat de la seva suma.
Una funció entre dos conjunts no necessàriament ens descriu una propietat o el resultat d'un càlcul o té cap mena de sentit interpretable. Hi ha tantes funcions com maneres de combinar els elements en forma de funció possibles.
En concret, si parlem de conjunts finits, entre el conjunt A i B hi ha |B|^|A| funcions, on |X| és el nombre d'elements de X. Per això del conjunt de totes les funcions entre A i B se'n diu B^A.
Les funcions es poden composar fent servir el resultat d'una com a argument de l'altra obtenint una nova funció.
Si prenc la funció que em dóna el punt geogràfic on sóc a cada instant de temps i la composo amb la que diu en quin carrer està cada punt geogràfic obtinc la funció que em diu a quin carrer em trobo a cada instant de temps.
Tot conjunt té associada una funció especial que es diu IDENTITAT que mapeja cada element del conjunt sobre ell mateix. Tota funció composada amb la identitat dels seus domini o codomini resulta en la mateixa funció.
Quan en una funció tots els elements del codomini estan relacionats exactament una vegada ens trobem davant un tipus particular de funció que es diu BIJECCIÓ.
En exemple de bijecció seria la que relaciona les persones amb el seu DNI. Tota persona té exactament un DNI i tot DNI correspon a exactament una persona. Ja sé que és mentida però suposo que m'heu entès.
Una bijecció té la propietat de ser INVERTIBLE. La funció INVERSA és aquella que obtenim canviant el sentit de les fletxes. La inversa de la funció que ens diu el DNI de cada persona és la que ens diu la persona de cada DNI.
Una funció composada amb la seva inversa ens dona la funció identitat.
Són guais, les funcions.
Els NOMBRES REALS són uns objectes matemàtics que fem servir per etiquetar els punts d'una línia recta en funció de la distància que els separa d'un punt arbitrari de la recta que en diem ORIGEN, que aniria etiquetat amb el nombre ZERO.
Hi ha exactament un nombre real per cada punt de la recta i un punt de la recta per cada nombre real. De la representació d'una recta etiquetada així en diem la RECTA REAL.
Les funcions que el seu domini i codomini són el conjunt del nombres reals es diuen FUNCIONS REALS DE VARIABLE REAL i són d'especial interès per tota una branca de les matemàtiques que es diu ANÀLISI.
Si representem en el pla el domini i el codomini com dues rectes perpendiculars que es tallen en l'origen de vegades és possible representar-hi els valors que pren una funció real de variable real d'una manera tal que així:
D'això en diem la GRÀFICA d'una funció.
La gràfica d'algunes funcions resulta un sol traç continuu que podríem dibuixar "sense aixecar el bolígraf del paper". D'altres no.
De les funcions que se'ns presenten com un únic traç en diem FUNCIONS CONTÍNUES.
La continuïtat és una característica interessant perquè molts fenòmens del món físic es modelen amb funcions que són contínues. La funció que diu a quina distància de casa estic a cada instant de temps és contínua mentre no existeixi la teleportació instantània.
La TOPOLOGIA és una branca de la matemàtica que bàsicament estudia el concepte de continuïtat (i derivats) des d'un punt de vista el més abstracte i general possible.
El "més abstracte i general possible" en aquest context vol dir que es treballa amb una definició de continuïtat que amplia la noció particular que hem vist en les funcions sobre el conjunt dels reals a funcions sobre tota mena de conjunts.
I fins aquí el que seria LA INTRODUCCIÓ.
(buenu, la introducció a la "breu introducció" a la que ens referíem en aquest tuit de fa uns dies, de fet. Ara ja podrem començar a parlar de topologia pròpiament )
El primer que necessitem per fer aquesta generalització és una definició matemàtica formal del concepte "continuïtat de funcions reals de variable real".
Perquè això de "no haver d'aixecar el boli del paper" va bé per crear una noció intuïtiva però per fer teoremes i coses de matemàtics no anem enlloc.
Hi ha diverses definicions equivalents del concepte però em centraré en una en particular que és la que ens servirà per generalitzar a tota mena de conjunts diferents que el dels nombres reals.
D'un subconjunt de nombres reals tal que tots els seus elements són contigus es diu INTERVAL.
Formalment, I és un interval si i només si per tota x i y que pertanyen a I, tota z tal que x<z<y també pertany a I.
Segons aquesta definició serien intervals, a part dels conjunts de nombres situats entre dos valors, el conjunt buit, la totalitat dels nombres reals, o tots els que són més grans que tres. Ja em va bé.
Un interval pot tenir, doncs, zero, un o dos extrems. Fixem-nos en aquests extrems.
En els extrems passa que hi ha un punt concret que fa de frontera. Els nombres a un costat de la frontera són dins de l'interval i els de l'altre costat són fora.
Però el nombre que fa de frontera en si, l'extrem pròpiament dit, pot passar que estigui dins o fora de l'interval. Quan un interval té exclosos tots els seus extrems es diu que és un INTERVAL OBERT.
Normalment per parlar d'un interval obert es fa servir la notació "(a, b)", on a i b són els extrems (exclosos) de l'interval. 1 no pertany a (1, 2), 1.5 sí i 2 altre cop no.
Tots els punt de dins d'un interval obert estan acompanyats a banda i banda de més punts també de dins de l'interval obert. Aquesta és una característica important. Amb els intervals que no són oberts això no passa.
Un CONJUNT OBERT és una unió d'intervals oberts. Tot punt dins d'un conjunt obert també té un entorn (gran o petit) de punts dins del mateix conjunt obert. D'aquests entorns en diem un VEÏNAT.
Propietats importants dels conjunts oberts:
*) El conjunt buit és obert.
*) La totalitat del conjunt dels reals és oberta.
*) La unió de (possiblement infinits) conjunts oberts és un conjunt obert.
*) La intersecció de *FINITS* conjunts oberts és un conjunt obert.
*) El conjunt buit és obert.
*) La totalitat del conjunt dels reals és oberta.
*) La unió de (possiblement infinits) conjunts oberts és un conjunt obert.
*) La intersecció de *FINITS* conjunts oberts és un conjunt obert.
És important el detall que interseccionant infinits conjunts oberts no necessàriament tenim un conjunt obert. Per exemple, la intersecció dels infinits intervals (0, x) on x>1 ens dóna l'interval (0,1], tancat per l'extrem dret, ja que 1 forma part de tots ells i qualsevol >1 no.
Però si ens limitem a interseccionar un nombre finit de conjunts oberts sí que obtenim un conjunt obert.
Donat un subconjunt qualsevol del domini, els subconjunt dels elements que ens retorna la funció en el codomini es diu CONJUNT IMATGE (del subconjunt tal).
I a l'inrevés, donat un subconjunt qualsevol del codomini, el subconjunt d'elements del domini tals que la funció fa correspondre amb aquest subconjunt es diu CONJUNT ANTIIMATGE (del subconjunt tal).
En una funció contínua, resulta que l'antiimatge d'un conjunt obert sempre serà un altre conjunt obert.
Mentre que, en canvi, quan tinguem una discontinuïtat a la funció hi haurà alguns conjunts oberts en que l'antiimatge tindrà extrems inclosos dins la funció i, per tant, no serà oberta.
O sigui que podem definir les funcions contínues com aquelles en que els conjunts oberts ens donen antiimatges obertes.
De moment només hem definit els conjunts oberts dins dels nombres reals, però si sabéssim què són els cjts oberts d'altres coses podríem extendre-hi aquesta mateixa definició i saber què són les funcions contínues entre el conjunt de floretes del camp i el d'entrepans de croqueta
Però com ho fem per extendre i generalitzar la noció de conjunt obert? Què són els conjunts oberts de floretes del camp? Què són els conjunts oberts d'entrepans de croqueta?
La resposta és EL QUE ENS SURTI A NOSALTRES DE LA POLLA.
Bé, no.
El conjunt de conjunts oberts ha de complir com a mínim les propietats que hem llistat en aquest tuit anterior del fil. Per la resta qualsevol elecció és vàlida en principi.
De la mateixa manera que les funcions han de complir uns mínims per ser-ho, però després les definim en base al comportament o propietat que volguem modelar;
amb els conjunts oberts estem modelant com volem que sigui el "teixit" d'un conjunt, que determinarà quines són i quines no són les funcions contínues des de i cap a ell.
D'un conjunt de subconjunts d'un conjunt que compleixen les propietats dels conjunts oberts en diem una TOPOLOGIA per aquell conjunt.
Els conjunts oberts que hem vist només és una de les moltes possibilitats que existeixen i en diem la TOPOLOGIA ESTÀNDARD dels nombres reals.
D'un conjunt dotat d'una topologia en diem un ESPAI TOPOLÒGIC. En el context d'aquest tipus de conjunts dels elements en diem PUNTS.
Arribats aquí ja podem començar a respondre parcialment la pregunta inicial: una varietat topològica és un tipus particular d'espai topològic.
Així com existeix el producte cartesià de conjunts, també existeix un producte de topologies que es construeix fent el producte cartesià dels conjunts oberts i alguna mandanga més per assegurar-nos que compleix les propietats que ha de complir una topologia.
Del producte de N rectes reals en diem ESPAI EUCLIDIÀ. I de la seva topologia associada en diem TOPOLOGIA EUCLIDIANA.
N'Euclides d'Alexandria era un geòmetra grec de cap allà el 300 aC a qui tot aquest fil li hagués sonat bastant a xino però resulta que els espais que compleixen els postulats que va enunciar a seu "Elements" són precisament aquests que anomenem euclidians. Ves per on.
I ves per on que la manera com percebem en general l'espai que ens envolta es correspon a la noció dels espais euclidians. Per això la geometria neix d'aquí, tot i que a partir d'un cert moment històric va anar essent una cosa molt més general.
Els conjunts oberts dels espais euclidians de la dimensió corresponent serien grups de "taques" de forma arbitrària en que, igual que els conjunts oberts de la recta real, la frontera està exclosa del conjunt.
I, també igual que en els conjunts oberts de la recta real, qualsevol punt dins un conjunt obert té un veïnat més petit o més gran d'altres punts de dins del mateix conjunt obert que l'embolcalla en totes direccions.
Per a un subconjunt dels punts d'un espai topològic es defineix el SUBESPAI TOPOLÒGIC fent els seus conjunts oberts mitjançant la intersecció dels de l'espai original amb els punts del subespai.
Així podem definir coses com per exemple l'espai topològic d'una circumferència, entenent-la com un subconjunt de punts del pla, l'espai euclidià de dues dimensions.
D'una bijecció entre dos espais topològics que és contínua i que alhora la seva inversa també és contínua en diem HOMEOMORFISME.
La funció logística, per exemple, és un homeomorfisme entre la recta real i el subespai corresponent a l'interval obert (0,1).
Dos espais topològics que es poden relacionar mitjançant un homeomorfisme es diu que són HOMEOMORFS.
Els homeomorfismes són transformacions entre els punts d'un espai i un altre que preserven l'estructura topològica. Són un altre tipus d'ISOMORFISME com els que vam veure pels grafs en el fil sobre políedres.
Quan estudiem un espai topològic en certa manera estudiem alhora tots aquells espais que són homeomorfs a ell, ja que les propietats topològiques d'un es poden traslladar a un altre a través de l'homeomorfisme corresponent.
Tots els intervals reals oberts són homeomorfs. Però no són homeomorfs amb la circumferència que hem vist abans perquè no podriem trobar cap homeomorfisme entre els uns i l'altre.
La circumferència, per la seva banda, és homeomorfa amb qualsevol corba tancada en l'espai que no s'interseccioni amb ella mateixa. Per exemple, un quadrat.
Una esfera és homeomorfa amb qualsevol dels políedres d'aquells que jo feia. Una tassa és homeomorfa amb un dònut.
Un tipus familiar d'homeomorfisme són els mapes terrestres. Són una funció que relaciona els punts d'una superfície esfèrica amb els punts d'un pla.
Una de les característiques d'un bon mapa és que els punts geogràfics adjacents hi són representats de manera adjacent. Això és la continuïtat.
Com que l'esfera no és homeomorfa amb el pla és impossible fer un mapa (pla) on hi sigui representada *tota* la Terra. En les cilíndriques com la mercator els falten els pols. En d'altres com l'azimutal els falta un sol punt.
Aquests es poden fer perquè el pla sí que és homeomorf amb una esfera a la que se li ha llevat un punt. L'"esfera punxada".
La mena d'espais en els que la nostra ment se sent tradicionalment més còmode són els euclidians. És com tendim a percebre de fet l'espai físic que ens envolta. Per això durant gran part de la història els humans han pensat,com Euclides,que aquesta era la única geometria possible
En els espais euclidians hi podem posar ordre fent servir coordenades cartesianes, els angles d'un triangle sumen cent vuitanta graus, les línees paral·leles no es troben mai i tota aquesta merda. Els valors tradicionals de tota la vida, vaja.
Això de sortir a navegar en línia recta i acabar tornant al mateix punt que ens passa a la Terra és molt locu.
Hi ha tota una família d'espais topològics, però, que si bé no es poden mapejar globalment (i. e. són homeomorfs) amb un espai euclidià, sí que es pot fer almenys localment per cada punt.
És a dir, cada punt de l'espai té un cert veïnat al seu voltant que sí que es pot mapejar sobre (és homeomorf amb) un espai euclidià d'una dimensió donada.
A cada punt de la superfície de la Terra se li pot fer un mapa (euclidià de dimensió 2) on aparegui ell junt amb el seu entorn.
I en aquests mapes ja hi podem treballar amb les nostres coordenades, escaires, cartabons i compassos euclidians que tant ens agraden.
I aquests tipus d'espais topològics són precisament els que anomenem VARIETATS TOPOLÒGIQUES en català i en anglès MANIFOLDS. Una esfera és una varietat topològica de dues dimensions.
Bé, a part de ser localment euclidians se'ls sol definir amb un parell de característiques necessàries més per evitar que ens entrin algunes monstruositats bastant desagradables, però per entrar-hi hauria d'allargar-me massa.
Dels homeomorfismes locals d'una varietat sobre l'espai euclidi en diem CARTES, com les cartes de navegació. D'un conjunt de cartes que ens cobreix la totalitat de l'espai de la varietat en diem un ATLES.
En zero dimensions l'espai euclidi consisteix en un sol punt, i la única varietat que existeix és aquest mateix punt.
En una dimensió l'espai euclidi és la línia recta. I les varietats que tenim són per una banda aquesta mateixa línia recta, que hem vist abans que és topològicament equivalent (homeomorfa) amb un segment obert,
, i per l'altra la circumferència com a representant de totes les corbes tancades sense intersecció. Només hi ha aquestes dues.
Una corba que s'interseccioni així com un 8 no és una varietat perquè l'entorn del punt d'intersecció no s'assembla a un espai euclidià. És una altra cosa.
En dues dimensions tenim com sempre per començar el mateix pla euclidià, que és equivalent a aquest tros de paper encara que estigui una mica arrugat.
Si unim dos dels costats del quadrat per fer un cilindre obtenim una varietat diferent.
Si ara unís els dos costats que queden obtindria una altra varietat de dues dimensions que és un TORUS, altrament dit donut.
Els que hagueu jugat al videojoc clàssic ASTEROIDS (entre d'altres) estareu familiaritzats amb aquesta topologia.
(llàstima de no haver trobat cap gif amb l'avionet sortint per un costat de la pantalla i apareguent a l'altre)
Tornant al començament, si en lloc d'unir costats oposats en el paperot quadrat de partida hagués unit adjacents, m'hagués sortit aquest CUCURUTXU prou vistós però encara homeomorf amb el pla euclidià simple.
Però ara, si tanquem la paperina unint elsdos costats que queden tenim mena de cosa amb una cavitat interior que és de fet homeomorfa amb l'esfera.
Però això no és tot, amics. Si quan hem fet el cilindre li haguéssim pogut donar un gir al paper abans de connectar-lo amb l'altra banda hauríem obtingut una varietat nova i força interessant que es diu cinta de Möbius
És interessant aquest objecte que ha quedat reduït a una sola cara i un sol costat. Segur que l'heu vist estampat a les samarretes dels vostres companys més nerds de l'institut.
Una cosa interessant que et passa quan habites dins d'una cinta de Möbius és que si dones una volta sencera quedes girat a l'inrevés. Aquesta característica és una propietat important de les topologies que es diu ORIENTABILITAT. Una tira de Möbius és una superficie NO ORIENTABLE.
Si agafem l'únic costat d'una superfície de Möbius i l'unim a ell mateix això ho podem fer de dues maneres possibles, però ja no dins l'espai tridimensional. A partit d'aquí ens fa falta una quarta dimensió on treballar amb les dues següents varietats de dues dimensions.
Una és una cosa que es diu AMPOLLA DE KLEIN
I l'altra es diu PLA REAL PROJECTIU que és una cosa que es fa servir bastant amb geometria quan vols jugar amb l'infinit i no cremar-te (gaire).
Això és el que hem obtingut jugant a unir els costats d'un quadrat de diferents maneres.
Aquest mateix joc es podria fer amb qualsevol polígon amb un nombre parell de costats i obtindríem altres varietats com donuts amb dos forats i coses moltíssim més exòtiques.D'aquest polígon i de com connectem les seves cares per construir una varietat se'n diu POLÍGON FONAMENTAL
En tres dimensions la cosa es posa encara més interessant i en dimensions superiors senzillament demencial. És una àrea de la matemàtica encara amb molts problemes oberts sense resoldre. Tot un MUNDILLU.
I ara sí que ja aniria donant aquest fil per acabat. He respost la teva pregunta, @Atridas87?
