Le saviez-vous, ℝ/ℤ est... un cercle!
Explications :
Explications :
1) En mathématiques ℝ est l'ensemble des nombres réels, on peut se l'imaginer comme une droite où sont présents tous les nombres (de l'infini négatif à l'infini positif).
2) Quant à ℤ, c'est l'ensemble de tous les nombres entiers sur cette droite, {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
3) "Diviser" un ensemble A par un ensemble B (ce qu'on appelle un quotient) revient à "recoller" les points de B qui sont contenus dans A sur eux-mêmes...
4) En particulier quand on quotiente ℝ par ℤ, on vient "coller" tous les nombres entiers entre eux. 
5) De cette façon, on crée une "équivalence" entre certains nombres réels. Par exemple, les nombres 0 et 2 sont équivalents, car on les a "collés ensembles". De même, les nombres 0.33 et -2.33 sont équivalents, car leur différence est un nombre entier (dans ℤ).
6) Dans cet espace que l'on a créé, on peut partir de 0, avancer progressivement vers la droite, et atteindre 1. Mais 1 est équivalent à 0, c'est le même point ! En allant tout droit, on finit donc par se retrouver de nouveau à notre point de départ !
7) C'est la propriété qui définit un cercle ! On dit que ℝ/ℤ est "isomorphe" au cercle. Une fourmi qui vivrait dans cet espace aurait l'impression de vivre sur un cercle. En marchant tout droit elle reviendrait à son point de départ !
8) Pour aller plus loin on peut imaginer d'autres espaces. Par exemple, on peut recoller les deux côtés d'un carré pour former un tore ! Marcher vers la droite nous ramène à gauche, et marcher vers le haut nous ramène en bas !
9) À partir de cette simple idée, on peut construire une très grande variété d'objets géométriques (des sphères à 5 dimensions, des rubans de Möbius etc...) en partant simplement d'ensembles de nombres, et de relations d'équivalences !
Erratum dans 5), 0.33 et +2.33 sont équivalents. -2.33 ne leur est pas équivalent car -2.33 - 0.33 = -2.66 qui n'est pas un entier dans Z.
