Thread by @polfosol

مدت‌هاست که میخوام درباره پرلمن بنویسم. این نابغه‌ی دوران، فخر انسان، اسوه‌ی جوانان و مراد پیران!
اما برای درک عظمت این شخص لازمه کمی مقدمه بگم

یه سری اصطلاحات درهندسه هست که درک شهودی‌شون راحته. مثلا مسیر ساده‌ی بسته یعنی خطی که از یه‌جا شروع میشه و به همونجا ختم میشه /

۱ از n

... و هیچ‌جای دیگه خودشو قطع نمی‌کنه.
حالا فضای ساده‌ی بسته یعنی یه سطحی که مرز یا لبه نداره. و به‌علاوه، هر مسیر سادهٔ بسته‌ای که روش ترسیم شده رو میشه فشار داد تا تبدیل بشه به نقطه. مثل این:
بنابراین کُره یک فضای ساده‌ی بسته‌ست.

۲ از n
برخلاف کره، طوقه‌ها فضای ساده بسته نیستن.

چون می‌بینید که این مسیرها↓ رو نمیشه روشون فشرده کرد. اصطلاحا میگن طوقه‌ها سوراخ دارن
همون‌طور که تومطالب سری قبل (bit.ly/3iH2OP3) گفتم این سوراخ داشتن یا نداشتنِ سطوح یکی ازمفاهیم اساسی توپولوژیه.
درتوپولوژی سطوح مختلف مثل خمیری هستن که با ورز دادن به همدیگه تبدیل میشن

حالا اگر تو فرآیند ورز دادن سوراخ جدیدی ایجاد نشه یا سوراخ‌های قبلی از بین نرن، بهش میگن تبدیلِ هم‌ریختی یا homeomorphism.
هنری پوآنکاره در سال ۱۹۰۴ این گزاره رو مطرح کرد که هر فضای ساده‌ی بسته رو با یک تبدیل هم‌ریختی میشه تبدیل کرد به کُره.
خب این از لحاظ شهودی واضح به‌نظر میاد،

هر خمیری که سوراخ نداشته باشه رو میشه جوری ورز داد که قلقلی بشه. اما در ریاضیات باید همه‌ی اینا تعریف دقیق داشته باشه، و بشه با زبان ریاضی و علائم عجیب‌غریب نشون داد.

حالا مساله تبدیل میشه به اینکه نشون بدیم به ازای هر سطحِ سادهٔ بسته یک تابع دوطرفه وجود داره که خروجیش میشه کره.

اینکه اثبات کنیم چنین تابعی همواره وجود داره ومعکوس‌پذیره اسمش شد حدس پوآنکاره.
حدس پوآنکاره یه صدسالی ریاضیدان‌ها رو سر کار گذاشت. خب یه نکته جالب‌تر.
در ریاضیات بعضی ازمفاهیم مابه‌ازای شهودی دارن. ولی اکثر مفاهیم صرفا یه چیز مجازی و غیرقابل تصوره، مثل فضای ۴بعدی یا ابعاد بالاتر

یکی از مشکلات ما هم اینه که مثلا وقتی بهمون میگن کره ۴بعدی، هی سعی می‌کنیم تو ذهنمون تصور کنیم ومشابهت ایجادکنیم با کره‌های ۳بعدی.
این تصور ذهنی خیلی وقتا مانع بزرگی سر راه فهمیدن مساله‌ست. باید صرفا به عنوان یک معادله جبری باهاش برخورد کرد، بدون هیچ شهودی
mathoverflow.net/q/25983/93602

توپولوژی تا اینجا که فهمیدیم خیلی با شهود سروکار داره. همه‌ش حرف از سوراخ و مالیدن و ورز دادن و ایناست. پس قاعدتا توپولوژی در فضای ۴بعدی (یا بالاتر) باید بسیار سخت‌تر باشه؛ چون ابزار شهود از ما گرفته میشه.
واقعنم سخت‌تره. اما نکته جالب تو حدس پوآنکاره این بود که تو فضاهای nبعدی /

خیلی راحت‌تر اثبات شد.
برای فضای ۵بعدی و بالاتر Stephen Smale تونست درسال ۱۹۶۱ این حدس رو اثبات کنه. بعد Freedman در ۱۹۸۲ تو فضای ۴بعدی هم اثبات کرد. جفت اینا به خاطر این کارشون مدال فیلدز گرفتن!
در دوبعد هم مساله بدیهی بود. فقط موند فضای ۳بعدی.

اما واقعا چرا اینجوری شد؟

اگر ریاضی ۲ رو پاس کرده باشید مشابه این پدیده رو دیدید که یه چیزی تو یک بُعد سخته و وقتی مساله تبدیل میشه به دوبعدی، راحت‌تر حل میشه. انتگرال گوسی رو عرض می‌کنم:

همینجور شانسکی اتفاق مشابهی هم برای توپولوژی‌های ابعاد بالا افتاد و یه نظریه‌ای کشف شد به اسم نظریه جراحی (Surgery).

خلاصه سرتون رو درد نیارم. این نظریه جراحی تو ابعاد بالاتر چون جا زیاد بود به ریاضیدان‌ها کمک می‌کرد سطوح چندبعدی رو اونقدر بمالن و ورز بدن تا یه کره ازش دربیاد. ولی تو سه یا چار بعد جا تنگ میشه و امکان این جور مالش دادن‌ها نیست دیگه.

چقدر طولانی شد 🥴
quora.com/Topology-Why-w…

حالا این حدس پوآنکاره همینجور همه رو تو کف گذاشت تا اینکه قرن ۲۱ فرارسید. در ابتدای سال ۲۰۰۰ موسسه CMI هفت تا از مهم‌ترین مسائل ریاضی رو مطرح کرد و گفت به هرکی بتونه یکی‌شو حل کنه یک‌ملیون دلار جایزه میده. حدس پوآنکاره هم جزء اینا بود.

(یکی دیگه‌ش اینه↓)

https://twitter.com/polfosol/status/1294829625722515457

خب تلاش‌های ملت در اواخر دهه ۱۹۸۰ داشت به جاهای خوبی می‌رسید. ریچارد همیلتون که از باحال‌ترین آدمای روزگاره، در این سال‌ها یه نظریه درست کرد به اسم جریان‌های ریکی (ricci flow) که درواقع یه معادله دیفرانسیله.
شما فرض کن تو مایه‌های معادله توزیع گرما.
reddit.com/r/math/comment…

(تو کامنت‌های لینک بالا چندتا از دانشجویان همیلتون ازش خاطره تعریف کردن. بخونید ببینید چه مرد نازنینیه این بشر)
به هرحال، پرلمن فهمید که این جریان ریکی ابزار خوبی برای ورز دادن سطوح سه‌بعدی و تبدیلشون به سطوح ساده‌تر به‌دست میده.
خسته شدم. فردا ادامه داستان آقا پرلمن رو میگم

n/n