Au hasard du fil ci-dessous, je suis tombé sur une construction intéressante.

Une curiosité de la théorie des groupes finis est que tous les automorphismes du groupe symétrique Sn sur n éléments sont intérieurs sauf pour n=6, et S_6 a exactement un automorphisme extérieur. 1/9
Étant très inculte en théorie des groupes, j'ignorais comment construire l'automorphisme extérieur (non-intérieur serait plus précis) non trivial de S_6. Il se trouve qu'il y a une construction géométrique assez intuitive (quoique profonde) à partir de l'icosaèdre. La voici.

2/9
Considérons un icosaèdre régulier et numérotons ses 12 sommets avec les entiers de 1 à 6 de sorte que les sommets opposés aient le même indice. Aux isométries de l'icosaèdre près, il y a 12 manières différentes de réaliser une telle numérotation.

3/9
Appelons-les les 12 icosaèdres numérotés. À chaque icosaèdre numéroté sont associés 10 sous-ensembles distincts de cardinal 3 de 1,...,6 : l'ensemble des indices des sommets de chacune des 20 faces de l'icosaèdre (les faces opposées ont les mêmes indices).

4/9
On dit que deux icosaèdres numérotés sont conjugués si les 20 sous-ensembles associés réalisent une partition des 20 sous-ensembles de cardinal 3 de 1,...,6. Il se trouve que les 12 icosaèdres numérotés se rangent en 6 paires formées d'un d'icosaèdre et de son conjugué.

5/9
Si, comme della Francesca, on plonge un icosaèdre régulier dans l'espace de sorte que les coordonnées de ses sommets soient dans {0,±1, ±φ}, φ le nombre d'or, alors il y a une autre notion d'icosaèdre conjugué (provenant de la théorie de Galois). 6/9

Bien sûr, les deux notions de conjugaisons coïncident.

Revenons à nos 6 paires. Le groupe S_6 agit sur les indices des icosaèdres numérotés, et cette action envoie une paire d'un icosaèdre numéroté et de son conjugué en une paire d'un icosaèdre numéroté et de son conjugué.

7/9
Il y a donc une application qui envoie une permutation de S_6 (avec son action naturelle sur 1,...,6) vers une permutation de S_6 (vue cette fois comme groupe de permutations des 6 paires d'icosaèdre numérotés). C'est l'automorphisme extérieur de S_6.

8/9
Quand la pandémie sera finie, j'offre la boisson de son choix à qui m'explique comment on peut exploiter ce lien entre automorphisme extérieur de S_6 et icosaèdre pour résoudre les équations polynomiales de degré 5

9/9

Références : A description of the outer automorphism of S_6, and the invariants of six points in projective space.

de Ben Howard, John Millson, Andrew Snowden et Ravi Vakil.

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11 Dec
Puisque cette blague attire peut-être plus l'attention qu'elle ne le mérite, je dis un mot de ma position sur l'enseignement privé.

Un fil donc sur le sujet.
Dans les limites générales de la loi et en gardant l'intérêt supérieur de l'enfant comme principe, je suis pour accorder aux parents une grande latitude a priori dans l'éducation qu'ils choisissent pour leurs enfants, y compris dans la transmission de principes religieux.
La France est laïque. La République doit donc montrer à l'égard de ces convictions religieuses, quelles qu'elles soient, une indifférence polie. Je n'ai donc pas de problème a priori avec l'existence ni du lycée Suleyman, ni du lycée Stanislas.

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11 Dec
Alerte radicalisation : je viens d'identifier un établissement scolaire parisien dont le site officiel ne laisse aucune ambiguïté. Voyons plutôt :

Suleyman est un établissement musulman d’éducation dont la principale mission demeure de diffuser la parole du Prophète à travers
la vie scolaire et quotidienne. Le Prophète, véritable éducateur, est au centre de la vie de l’École, afin de permettre à chacun de viser sa propre progression et perfection. Tout homme et tout l’homme est concerné par ce chemin vers le walîy.
Durant tout leur parcours au lycée, l’enseignement de la parole du Prophète, assuré par les imams, est obligatoire pour toutes les classes. Les cinq prières quotidiennes permettent de vivre un cœur à cœur avec Allah.

Une session sur la construction de la personnalité est
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9 Dec
Si je comprends bien le Garde des Sceaux réfléchi à une loi liberticide pour traiter les violences que la police laisse perdurer lors des manifestations contre la loi liberticide actuellement en discussion.
amp.lefigaro.fr/flash-actu/vio…
Laquelle loi contient notamment un article empêchant la diffusion des violences policières perpétrées lors des manifestations contre l'avant-dernière loi liberticide.
Si l'on en croit l'expérience de la loi Avia, la nouvelle loi liberticide sera également l'occasion de tenter de réintroduire les articles anticonstitutionnels de la loi actuelle, ou peut-être de celle d'avant. On verra, les articles anticonstitutionnels ne manquent pas.
Read 4 tweets
9 Dec
Donc, c'est officiel, le mode de communication de la majorité est l'antiphrase permanente. Il faut donc comprendre :

En 5 mois, @GDarmanin a laissé s'installer violence et chaos, sans rien proposer sauf des paroles contre le risque terroriste.
Aujourd'hui, il y a une bafouille improvisée avec le dernier gag risible que je vais toutefois attribuer au Président car il tient entre ses mains ma carrière. À part ça, non, le gouvernement ne fera rien.

C'est une description assez juste à laquelle je pourrais souscrire.
Restent des questions : se rendent-ils compte de ce qu'ils disent ? Est-ce délibéré ? inconscient ? incontrôlable ? Comprennent-ils que leur pratique détruit la possibilité d'une démocratie ? Comment peuvent-ils s'avilir ainsi ?
Read 4 tweets
23 Sep
Tristesse aujourd'hui.

Une majorité parlementaire se glorifie de faire passer une loi insincère dont elle ne comprend ni les dangers, ni même à vrai dire l'objet. Les uns après les autres, des députés insignifiants répètent les mêmes éléments de langage, les mêmes mensonges
Ne se réveillant que pour défendre tel ou tel lobby.

Les amendements des députés d'opposition qui garantiraient un minimum la possibilité d'exercer notre métier sont annihilés par le mépris et l'ignorance.

"On rejette votre demande parce que la loi fait déjà plus et mieux".
"Repousser les financements à beaucoup plus tard ? Au-delà de notre mandat et du mandat de nos successeurs ? C'est bien le signe que cette loi est ambitieuse. Ces nouveaux postes qui hiérarchisent le système ? Cela nous permettra d'attirer enfin les talents."
Read 8 tweets
21 Sep
Le gouvernement n'agite pas ses diversions pitoyables 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 nous soyons collectivement menacés par une crise sanitaire, sociale, démocratique et écologique.

Il le fait 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 nous le sommes.

Parce qu'avec sa majorité, il s'est enfermé dans une bulle cognitive où la volonté d'Emmanuel Macron vaut argument, mise en oeuvre et pratique, qui se traduit concrètement par un néant politique traversé de faveurs pour les plus riches et de prébendes pour tel ou tel courtisan.
Et parce que l'épidémie révèle immédiatement (dans le deux sens du terme) les conséquences de cette politique pour le collectif. Il n'a jamais suffi de décréter que nous étions prêts, que la rentrée était intellectuellement exaltante ou qu'elle se passait dans la joie.
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