Thread by @Minimaliste13

Au hasard du fil ci-dessous, je suis tombé sur une construction intéressante.

Une curiosité de la théorie des groupes finis est que tous les automorphismes du groupe symétrique Sn sur n éléments sont intérieurs sauf pour n=6, et S_6 a exactement un automorphisme extérieur. 1/9

https://twitter.com/Minimaliste13/status/1331532707948539905

Étant très inculte en théorie des groupes, j'ignorais comment construire l'automorphisme extérieur (non-intérieur serait plus précis) non trivial de S_6. Il se trouve qu'il y a une construction géométrique assez intuitive (quoique profonde) à partir de l'icosaèdre. La voici.

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Considérons un icosaèdre régulier et numérotons ses 12 sommets avec les entiers de 1 à 6 de sorte que les sommets opposés aient le même indice. Aux isométries de l'icosaèdre près, il y a 12 manières différentes de réaliser une telle numérotation.

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Appelons-les les 12 icosaèdres numérotés. À chaque icosaèdre numéroté sont associés 10 sous-ensembles distincts de cardinal 3 de 1,...,6 : l'ensemble des indices des sommets de chacune des 20 faces de l'icosaèdre (les faces opposées ont les mêmes indices).

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On dit que deux icosaèdres numérotés sont conjugués si les 20 sous-ensembles associés réalisent une partition des 20 sous-ensembles de cardinal 3 de 1,...,6. Il se trouve que les 12 icosaèdres numérotés se rangent en 6 paires formées d'un d'icosaèdre et de son conjugué.

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Si, comme della Francesca, on plonge un icosaèdre régulier dans l'espace de sorte que les coordonnées de ses sommets soient dans {0,±1, ±φ}, φ le nombre d'or, alors il y a une autre notion d'icosaèdre conjugué (provenant de la théorie de Galois). 6/9

https://twitter.com/Minimaliste13/status/1331532732367822848?s=20

Bien sûr, les deux notions de conjugaisons coïncident.

Revenons à nos 6 paires. Le groupe S_6 agit sur les indices des icosaèdres numérotés, et cette action envoie une paire d'un icosaèdre numéroté et de son conjugué en une paire d'un icosaèdre numéroté et de son conjugué.

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Il y a donc une application qui envoie une permutation de S_6 (avec son action naturelle sur 1,...,6) vers une permutation de S_6 (vue cette fois comme groupe de permutations des 6 paires d'icosaèdre numérotés). C'est l'automorphisme extérieur de S_6.

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Quand la pandémie sera finie, j'offre la boisson de son choix à qui m'explique comment on peut exploiter ce lien entre automorphisme extérieur de S_6 et icosaèdre pour résoudre les équations polynomiales de degré 5

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https://twitter.com/Minimaliste13/status/1331532783773167621?s=20

Références : A description of the outer automorphism of S_6, and the invariants of six points in projective space.

de Ben Howard, John Millson, Andrew Snowden et Ravi Vakil.