Thread by @BTeseracto

El Sol tiene una masa de 1,989*10^30 kg. No hemos ido a pesarlo, pero si quieres averiguar cómo lo sabemos y qué relación tiene con Kepler, lee este hilo porque lo vamos a demostrar sin más datos que la duración del periodo de la Tierra (un año) y su distancia a la estrella.

Vamos a suponer que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular. No es cierto, pero si lo suficientemente cercano a la realidad como para permitirnos conseguir una buena aproximación.

Para que la Tierra no caiga hacia el Sol su fuerza centrípeta debe ser igual a la fuerza gravitatoria que le impone el Sol. Por tanto, debemos igualar ambas variables.

Empecemos por la primera variable, la fuerza centrípeta lograda gracias a la velocidad de translación (v) que tiene nuestro planeta alrededor de la estrella. Si la Tierra se para, se cae al Sol.

Por otra parte, la fuerza gravitatoria es directamente proporcional a la masa del Sol (M) y a la constante de gravitación universal (G) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa a la Tierra y el Sol.

Con esto en mente, podemos aplicar la igualdad, para ver que podemos simplificar (parcialmente) la distancia que separa a ambos cuerpos y la masa de la Tierra, como suele pasar en estos casos.

Además, también sabemos que para el caso de un cuerpo girando en círculos alrededor de otro su velocidad puede describirse como 2 por el número pi por la distancia que los separa dividido entre el tiempo que le lleva dar una vuelta completa. Es decir, el periodo (T).

Introduciendo esta variable en nuestra igualdad vemos que lo que obtenemos es la tercera ley de Kepler deducida a partir de la mecánica de Newton. Y aquí nos queremos parar un momento.

Puede verse como el cuadrado del período de traslación de un planeta dividido entre el cubo de la distancia es constante para todos los planetas que giran alrededor de una estrella. Pues esta igualdad es constante y solo varía entre sistemas por la masa de la estrella.

Esto implica que puedo calcular el periodo o la distancia que separa un planeta del sistema solar con solo saber uno de los otros parámetros. O, por el contrario, la masa de la estrella si conozco ambos parámetros.

Lo mismo aplica a cualquier sistema estelar o planetario, como puede ser Júpiter con sus satélites. Esta igualdad, la tercera ley de Kepler, se sigue cumpliendo. Ese fue uno de los grandes logros de Kepler.

Hoy en día, gracias a la mecánica que Newton descubrió, cualquiera puede calcular esto en una servilleta. Pero Kepler no contaba con esta herramienta, solo contaba con observaciones y su capacidad de deducción. Un hito en la historia de la ciencia.

A partir de nuestro resultado, que no es sino la tercera ley de Kepler, podemos determinar la masa del astro que nos da calor.

Todo lo que necesitamos es la constante de gravitación universal… Que es constante y se puede medir con la balanza de Cavendish, el periodo de la Tierra (un año) y la distancia que separa la Tierra del Sol, que es una unidad astronómica.

Aislamos la masa y sustituimos las letras por el número que las representa, además añadimos las dimensiones de nuestros parámetros para asegurarnos de que el resultado es dimensionalmente correcto. Algo que nos ha salvado más de un examen.

Con esto llegamos a que la masa del Sol es 1,989*10^30 kilogramos. Como se pretendía demostrar.