Thread by @genkuroki

#Julia言語 【one(x)は多くの場合にxと同じ型の1になる】

公式ドキュメント docs.julialang.org/en/v1/base/num… にもあるようにone(x)がxと違う型になる場合があります。

one(x)はxの型に関する乗法的な1になり、加法的な(次元を持つ)1が欲しければoneunit(x)を使う。

環上の加群を思い浮かべるとよいです。

https://twitter.com/genkuroki/status/1372148979136294916

#Julia言語 数学の習慣では、乗法の単位元を1と書き、加法の単位元を0と書くことが多い。

Juliaでは、xと同じ型もしくは型xに関する乗法的な単位元をone(x)と書き、加法的な単位元をzeto(x)と書く習慣。

単位としての加法的な1はoneunit(x)と書かれる。

数学を知っていれば納得し易い。

#Julia言語 例えば、Aが数を成分とする正方行列のとき、Juliaにおいてone(A)は単位行列になってくれます。

one(x)という書き方を知っていれば「どの型の乗法的1なのか」を型を明示せずに型の伝搬スタイルで記述できるわけですが。

数学でも「これはxが含まれる環の1です」などと言える。これと同じ。

#Julia言語 注意：数の型については、promotion docs.julialang.org/en/v1/manual/c… のルールが適切に定められているので、Float64型の数値の計算の中で one(Float64) のように書く必要はほぼないです。

単に1と書いてよい。

promotion規則に基いて、整数の1は浮動小数点数の1.0に変換されます。

#Julia言語

Juliaではxが「環」の要素なら、one(x)はその「環」の1になる。

xが「環」上の「加群」の要素なら、one(x)は「環」の側の1になる。

xが「環」上の基底uが固定されたランク1の自由加群ならば、oneunit(x)は数学的には1uになる。

Juliaの型伝搬を支える基本函数達は非常に数学的。

#Julia言語 通常の数学の慣習では、実数、複素数、実行列、複素行列の指数函数を全部exp(x)と書ける。

Juliaでは、Float64, ComplexF64, Matrix{Float64}, Matrix{ComplexF64}の指数函数を全部exp(x)と書く。

私は「多重ディスパッチのスタイルは普通の数学のスタイルと同じ」と思った。

#Julia言語 多重ディスパッチの仕組みで「すべてを済ます」スタイルを知って、ℤをℝの部分集合と同一視することについてのイメージも膨らませることができた。

Juliaでは、Int型の数値はFloat型の数値だと自動的にみなされることは、言語の機能としてはない。

しかし、ユーザー側に～続く

#Julia言語 続き。しかし、ユーザー側にInt型の数値がFloat64型の数値に自動的に読み換えられているように見える機能がないと、ユーザー側のコードを書く手間が増えて、実用的とは言えない道具になってしまう。

Juliaではこの問題も多重ディスパッチで処理している。

#Julia言語 多重ディスパッチとは、(例えば)同一の記号列 f(x, y) で実行されるメソッドが x, y の型の組み合わせごとに別に設定できることである。

2 + 3 = +(2, 3) はInt型の2と3の和。

2.0 + 3.0 = +(2.0, 3.0) はFloat64型の2.0と3.0の和。

どちらも同じ + 記号で書かれている。続く

続く

#Julia言語 2 + 3.0 のようなInt型とFloat64型の和では、Int型の側がFloat64型に昇格させられて、結果的に 2.0 + 3.0 が実行されるようになっています。

x + y で何が実行されるかを x, y の型の組み合わせごとに変えられることをここで上手に利用しているわけです。

私はこういう話が楽しい。

#Julia言語 a∈A, b∈Bのとき、A⊂C⊃B を満たすCでたし算が定義されているものがあるならば、a,bをCの要素とみなすことによってa+bを定義できる。

Juliaでのたし算は実際にそのように実装されている。

例えばaがBigIntでbがFloat64のとき、a+bにおけるa,bはBigFloatに変換後に足される。

#数楽 数学の教科書で厳密には異なるものを同じ記号で表されていることが気に入らない人が、自分でノートを作るときに、厳密には異なるものにすべて違う記号列を割り振ろうとすると、結果的に可読性の低いノートができあがる。

数学における「多重ディスパッチ」も結構重要な役割を果たしている。

#数楽 数学のノートを作るときに厳密には異なるものに違う記号列を割り振ろうとして、細かい記号がごちゃごちゃしている読みにくいノートを作りがちな人は、#Julia言語 の「多重ディスパッチ」の使い方について学べば、異なるものにすべて違う記号列を割り振ることへのこだわりが解消するかも。

#数楽 ヒトに読ませることが前提の数学における記号法の運用と、コンピュータに正確に命令するために使われるプログラミングにおける記号法の運用の厳密さを比較すると、相対的に、前者は緩くイーカゲンで、後者はものすごく厳密である。

#数楽 プログラミング言語での記号法の運用は単に厳密であればよいだけではなく、ヒトが書きやすいものでなければいけない。

計算効率を支える厳密さとヒトにとっての書き易さの調和は #Julia言語 の重要なテーマ。

数学好きならば、プログラミングに興味がない人も勉強する価値があります。

#Julia言語 の稀有なスタイルは、人類が発展・普及させた記号法の文化に相性がよい記号法をプログラミングでも使えるようにしようとしていることです。

そのための地道な力仕事がどのように遂行されたかを知ることは、数学のノートを作るときにも役に立つと思われます。