J'essaie de résumer les points importants en quelques tweets (l'entrée de blog est là: madore.org/~david/weblog/…): ⤵️ •1/17
https://twitter.com/gro_tsen/status/1373461707159404544
Le modèle SIR est le modèle épidémiologique le plus basique, et encore très utilisé (avec des variations pas vraiment pertinentes ici) par les modélisateurs. C'est lui notamment qui prédit la formule 1 − 1/R₀ pour le seuil d'immunité collective (je noterai “κ” pour R₀). •2/17
Mais ce modèle SIR fait plein d'hypothèses simplificatrices assez invraisemblables, entre autres que la population est homogène, et notamment, que tout le monde a la même susceptibilité à la maladie (probabilité de l'attraper à un moment donné). •3/17
Ce que je décris ici c'est ce qui se passe si la susceptibilité est variable dans la population: on suppose connue sa distribution (initiale) s₀ et on cherche à comprendre l'impact sur l'évolution de l'épidémie. •4/17
L'idée intuitive (que j'ai souvent expliquée) est que les personnes plus susceptibles seront infectées donc rendues immunes en premier, donc que qd l'immunité s'accumule par infection, non seulement il y a moins de susceptibles, mais en outre ils le sont moins en moyenne. •5/17
Du coup l'accumulation d'immunité est rendue plus efficace par cette hétérogénéité de susceptibilité. Le point est de modéliser ça mathématiquement précisément. Et ce qui est surprenant c'est que ça se fait très bien. •6/17
(Tout ça ce sont des travaux qui doivent beaucoup à @mgmgomes1 et ses collaborateurs. J'ai refait la présentation à ma sauce, mais les idées, que je sache, sont d'elle.) •7/17
Le modèle SIR classique, en un tweet, c'est:
‣ ds/dt = −β·i·s
‣ di/dt = β·i·s − γ·i
‣ dr/dt = γ·i
‣ (s+i+r=1)
avec s,i,r les proportions de susceptibles, infectés, rétablis, β la contagiosité, γ la contante de rétablissement, nombre de reproduction κ := β/γ.
•8/17
‣ ds/dt = −β·i·s
‣ di/dt = β·i·s − γ·i
‣ dr/dt = γ·i
‣ (s+i+r=1)
avec s,i,r les proportions de susceptibles, infectés, rétablis, β la contagiosité, γ la contante de rétablissement, nombre de reproduction κ := β/γ.
•8/17
Il prédit notamment: une exponentielle initiale de pente logarithmique β, un seuil d'immunité collective à 1 − 1/κ, et un taux d'attaque final de 1 + W(−κ·exp(−κ))/κ ≈ 1 − exp(−κ) où W est la fonction transcendante de Lambert. •9/17
Passer à une susceptibilité hétérogène est remarquablement facile: tout se calcule à partir de la distribution s₀ initiale de susceptibilité en utilisant sa transformée de Laplace φ (c'est-à-dire φ(u) = 𝔼(exp(−u·X)) où 𝔼:=«espérance», … •10/17
… et X est une variable aléatoire distribuée selon le profil de susceptibilité initiale s₀ normalisée par 𝔼(X)=1 soit φ′(0)=1). En fait, il suffit dans SIR de remplacer β·i·s (terme d'infection) par −β·i·φ′(φ⁻¹(s)) pour passer au cas hétérogène. •11/17
En fait, toute la dynamique de l'épidémie se lit dans cette transformée de Laplace φ: elle résout partiellement le système (on a constamment s = φ(κ·r)), et permet de calculer seul d'immunité collective et taux d'attaque final. •12/17
Le seuil d'immunité collective est le point du graphe de φ où la pente vaut −1/κ (je rappelle que κ := β/γ est le nombre de reproduction), le taux d'attaque final l'intersection de ce graphe avec la droite par (0,1) et (κ,0). (Dans les deux cas, l'ordonnée donne 1−s.) •13/17
Un cas particulier important et représentatif est celui où la susceptibilité suit une distribution Γ, de variance relative v disons (inverse du paramètre de forme), p.ex., la distribution exponentielle (cas v=1). •14/17
Dans ce cas, le système s'écrit en remplaçant β·i·s dans SIR classique par β·i·s^(1+v), c'est tout! L'immunité acquise est 1+v fois plus efficace au début (le v supplémentaire vient de la baisse de la susceptibilité moyenne, donc). •15/17
Le seuil d'immunité collective est alors 1 − κ^(−1/(1+v)) (rouge), le taux d'attaque final est la solution >0 de (κ·v·r+1)^(−1/v) + r = 1 (bleu). Graphes ci-dessous en fonction de v pour nb de repro κ=2 (plein), 3 (tirets), 4 (pointillés). •16/17 
Et voici des courbes illustrant la dynamique de l'épidémie pour nombre de reproduction κ=3 avec v=0 d'une part (=SIR classique, homogène) et v=1 de l'autre (distribution exponentielle de la susceptibilité, àma plus vraisemblable si on ne sait rien a priori). •17/17
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