Thread by @dottorpax

Prendiamo un gruppo di 100 persone che si sottopongono a un test rapido. Per semplicità le assumeremo indipendenti, nel senso che Tizio e Caio (due a caso) sono abbastanza lontani, ad esempio vivono in città diverse e non si conoscono, da non potersi influenzare a vicenda

(né in termini di contagio, né nell'esecuzione del test, né in altro).
I test rapidi hanno un'affidabilità non proprio eccelsa, e la probabilità (p) di un falso negativo (si resulta negativi al Covid quando in realtà lo si ha) è in media del 15%, mettendo insieme sintomatici

e asintomatici, ma con punte oltre il 50% per certi produttori, specie nei primi giorni dell'infezione.
Prendiamo per buono il 15% (0.15 in decimali).
Il numero medio di falsi negativi nel nostro campione di 100 persone sarà dato da una Binomiale(n=100,p=0.15), e sarà

semplicemente np, vale a dire 15. La deviazione standard sarà la radice quadrata di np(1-p), ossia 3.6.
Per fare le cose un po' più divertenti, assumiamo che p sia in realtà una variabile aleatoria (lo è!).

Del resto p non è sempre 0.15, ma vari studi ci dicono che può variare, per diversi motivi (produttore, fase di test, abilità di chi fa il test, etc.).
Diciamo che una Beta può essere una scelta semplice per riprodurre la probabilità di un falso positivo.

La Beta, specie in ottica bayesiana, è una scelta abbastanza standard per modellizzare le probabilità come variabili aleatorie, essendo una distribuzione che vive nell'intervallo [0,1] e molto flessibile.

Con una Beta(a=3,b=17) abbiamo una distribuzione con media 0.15 e deviazione standard 0.08, in linea con la variabilità empirica rilevata nei test rapidi, con riferimento ai falsi negativi.

Ora, se i nostri 100 si testano, ognuno di loro avrà una probabilità di un falso negativo data da una realizzazione della Beta(3,17). Il numero totale di falsi negativi non seguirà più una Binomiale, ma una Beta Binomiale. In particolare una BetaBinomiale (a=3,b=17,n=100).

Quindi, quale numero medio di falsi negativi possiamo aspettarci? Sempre 15=na/(a+b).
Ma cosa succede alla variabilità? Qual è il valore della deviazione standard? Ci ritroviamo con 8.5, superiore al 3.6 della Binomiale.

Questa non è una sorpresa: abbiamo aggiunto incertezza nel modello, dato che p è ora una variabile aleatoria.
Andiamo oltre, qual è la probabilità di avere un alto numero di falsi negativi? Diciamo più di 30 su 100.
Per il modello Binomiale abbiamo 0.01%, ma sotto la

Beta Binomiale la probabilità cresce sensibilmente al 6%!
E la probabilità di avere più di 60 falsi negativi?!
Se assumiamo p data e usiamo la Binomiale, abbiamo un numero vicinissimo a 0, ossia 8.5*10^(-25). Ma con la Beta Binomiale siamo a 0.005%, una quantità piccola, certo,

ma non trascurabile, se pensiamo che ogni giorno si effettuano e ripetono tantissimi test.
La morale è sempre la stessa: l'incertezza aumenta le code, e rende più probabili scenari estremi, con importanti effetti sul rischio di modello, qualora la si ignori (come spesso accade).

Se accettiamo un valore medio maggiore di p, diciamo 0.25, come riportato da alcune fonti, con una Binomiale(100,0.25) la probabilità di osservare più di 60 casi sarebbe 1.32*10^(-13), ma con una Beta Binomiale saremmo al 2% (e 2% è tantissimo con una malattia contagiosa).

Per completezza, la differenza tra i due modelli si fa molto meno marcata per p->0 (ossia piccola), motivo per cui sono banalmente da preferire test più affidabili.
Ecco, le considerazioni sul GP e i vari tamponi seguono.

Disclaimer: i modellini utilizzati sono volutamente semplici. Aggiungendo dipendenza e una migliore caratterizzazione dell'incertezza i risultati sarebbero ancora più netti.