#数楽
S_n = Σ_{k=n}^∞ 1/(2ᵏk) > 0
とおくと、
S_1 = log 2
なので
a_n = 2ⁿ⁻¹(1 + log 2 - S_n)
となることがわかる。ゆえに
a_n < 2ⁿ⁻¹(1 + log 2) < 2ⁿ.
a_n は 2ⁿ⁻¹(1 + log 2) でよく近似されます。
S_n = Σ_{k=n}^∞ 1/(2ᵏk) > 0
とおくと、
S_1 = log 2
なので
a_n = 2ⁿ⁻¹(1 + log 2 - S_n)
となることがわかる。ゆえに
a_n < 2ⁿ⁻¹(1 + log 2) < 2ⁿ.
a_n は 2ⁿ⁻¹(1 + log 2) でよく近似されます。
https://twitter.com/stephen_dole/status/1502631275152420867
#数楽 数式処理ソフトはレルヒの超越函数を知っていてよく答えの中に混ぜて使って来る。
wolframalpha.com/input/?i=a%281…
wolframalpha.com/input/?i=a%281…
https://twitter.com/genkuroki/status/1497002444265750528
#数楽 不等式による評価は「よりシャープなものを追い求める」ことを考えると楽しくなることが多い。
例えば
a_n < 2ⁿ
よりも
a_n < 2ⁿ⁻¹(1 + log 2)
の方がずっとシャープな結果になっている。
特に教える側は、易しく解けること以上のことを知っていた方がより楽しみやすいと思う。
例えば
a_n < 2ⁿ
よりも
a_n < 2ⁿ⁻¹(1 + log 2)
の方がずっとシャープな結果になっている。
特に教える側は、易しく解けること以上のことを知っていた方がより楽しみやすいと思う。
#数楽 以下のリンク先の清水さんの計算の方が自然で良さそう。
しかし、やっていることは本質的に同じ。
1/(2ᵏk) を足し上げる問題になる。k=1,2,3,…について全部足すと log 2 になるので、2ⁿ⁻¹(1 + log 2)がa_nを上からおさえる良い近似式になる。
しかし、やっていることは本質的に同じ。
1/(2ᵏk) を足し上げる問題になる。k=1,2,3,…について全部足すと log 2 になるので、2ⁿ⁻¹(1 + log 2)がa_nを上からおさえる良い近似式になる。
https://twitter.com/dannchu/status/1502923000357978113
#数楽 この場合は、レルヒの超越函数とかを使わなくてもよい。対数函数のテイラー展開。
https://twitter.com/genkuroki/status/1502959786748710916
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