Thread by @aprobandomates

¿Cuántos saludos habrá el domingo entre Ramos, Busquets y el trío arbitral en el clásico durante el sorteo de campos?
¿Qué matemáticas hay detrás?

La combinatoria es la rama de las matemáticas que estudia las ordenaciones y agrupaciones de objetos, y distingue entre variaciones, permutaciones y combinaciones.

Vamos a utilizar la combinatoria para calcular el número de saludos entre los dos capitanes y los tres árbitros.

A este tipo de problema se le llama combinación de n elementos tomados de r en r, y en este caso hablamos de una combinación de 5 elementos tomados de 2 en 2.

De un conjunto de 5 elementos (los tres árbitros y los dos capitanes) elegimos grupos de 2 (los saludos se dan por parejas).

Es una combinación porque el orden de los elementos es irrelevante (da igual que el árbitro salude a Busquets o que sea Busquets quien salude al árbitro).

Además es una combinación sin repetición ya que no consideraremos el caso en que uno se salude a sí mismo (Cristiano Ronaldo ya no está en el Madrid).

El cálculo para una combinación de n elementos tomados de n en r es:

nCr = n!/((r!×(n-r)!)

n! es el factorial de n, y es n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1

Es decir: 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040

Los factoriales suelen dar números muy grandes, pero afortunadamente la calculadora tiene una tecla que nos permite hacer todo el cálculo mucho más rápido. La tecla nCr calcula directamente combinaciones de n elementos tomados de r en r.

En este caso, siendo n=5 y r=2, el cálculo es:

5C2 = 5!/(2!×(5-2)!) = 10

10 saludos en total.

En la imagen podemos ver un grafo que representa esta situación. Cada vértice es un jugador o árbitro y cada arista es un saludo.
Contando las aristas podemos comprobar que son 10 los saludos totales.

Si participaran en los saludos también el cuarto árbitro y los dos jueces de área tendríamos:

8C2 = 8!/(2!x6!) = 28 saludos.

Si los saludos se produjeran entre el trío arbitral y los 22 jugadores (saludando incluso a los de su equipo):

25C2 = 25!/(2!×23!) = 300 saludos.

Estos casos también podrían representarse con grafos, pero obviamente representar un grafo con 25 vértices no sería lo más cómodo. La combinatoria simplifica todo ese trabajo.

Aunque aquí la hayamos usado para calcular un ejemplo irrelevante, la combinatoria es de vital importancia en estadística y cálculo de probabilidades.