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Para seguir la demostración hay que saber
1. n!=1·2·3····n
2. e = 1 + 1/2 + +1/3! + 1/4! +···
3. Si r<1, 1+r+ r^2+r^3+...=1/(1-r)
4. Un número positivo es racional si se puede escribir como a/b con a y b números naturales (1,2,3,…etc. ). Es irracional si no es racional.
1. n!=1·2·3····n
2. e = 1 + 1/2 + +1/3! + 1/4! +···
3. Si r<1, 1+r+ r^2+r^3+...=1/(1-r)
4. Un número positivo es racional si se puede escribir como a/b con a y b números naturales (1,2,3,…etc. ). Es irracional si no es racional.
Fíjense que el punto 1. es sólo ponerle nombre a multiplicar los primeros n números naturales. El 2. es una definición del número e. Hay muchas otras. El 3. es una suma infinita pero que da un resultado finito (la famosa geométrica). Otro día lo demostramos, por ahora creer.
🅳🅴🅼🅾🆂🆃🆁🅰🅲🅸ó🅽
Supongamos que es racional, es decir e=a/b con a y b números naturales. Entonces
Supongamos que es racional, es decir e=a/b con a y b números naturales. Entonces
b!·e = b!·a/b es natural (porque b aparece en b! y se cancela),
b!·(1 + 1/2 + +1/3! + 1/4!+…+1/b!) es natural (por la misma razón)
Entonces b!(e - (1 + 1/2 + +1/3! + 1/4!+….+1/b!) es natural.
Llamemos N a este número.
b!·(1 + 1/2 + +1/3! + 1/4!+…+1/b!) es natural (por la misma razón)
Entonces b!(e - (1 + 1/2 + +1/3! + 1/4!+….+1/b!) es natural.
Llamemos N a este número.
Pero
N = b!(1/(b+1)! + 1/(b+2)! + . . . ) = b!/(b+1)! + b!/(b+2)! + . . .
En esta suma, el primer término es igual a 1/(b+1). El segundo término es menor que 1/(b+1)^2. El tercero es menor que 1/(b+1)^3. El cuarto es menor que 1/(b+1)^4,...
Bueno, ya entendieron.
N = b!(1/(b+1)! + 1/(b+2)! + . . . ) = b!/(b+1)! + b!/(b+2)! + . . .
En esta suma, el primer término es igual a 1/(b+1). El segundo término es menor que 1/(b+1)^2. El tercero es menor que 1/(b+1)^3. El cuarto es menor que 1/(b+1)^4,...
Bueno, ya entendieron.
Entonces si llamamos r = 1/(b+1) tenemos
N < r+ r^2+r^3+...= 1/(1-r) – 1 = r/(1-r) = 1/b.
O sea que N es menor que 1 (y mayor que cero). No puede ser un número natural. Esto es absurdo! Y provino de suponer que e era racional, por lo tanto es irracional.
🅀🄴🄳
N < r+ r^2+r^3+...= 1/(1-r) – 1 = r/(1-r) = 1/b.
O sea que N es menor que 1 (y mayor que cero). No puede ser un número natural. Esto es absurdo! Y provino de suponer que e era racional, por lo tanto es irracional.
🅀🄴🄳
Notas
1. Se puede demostrar que e no sólo es irracional sino que es trascendente, pero no entra en un tweet.
1. Se puede demostrar que e no sólo es irracional sino que es trascendente, pero no entra en un tweet.
2. Al número e se lo llama constante de Euler en honor a Leonard idem, aunque quien lo descubrió parece que fue Jacob Bernoulli mientras estudiaba interés compuesto.
3. Si hacemos una encuesta para votar al número más importante de la matemática, creo que e saca unos cuantos votos (la haremos en breve, antes que empiece la veda).
