Supongamos que es racional, es decir e=a/b con a y b números naturales. Entonces
b!·(1 + 1/2 + +1/3! + 1/4!+…+1/b!) es natural (por la misma razón)
Entonces b!(e - (1 + 1/2 + +1/3! + 1/4!+….+1/b!) es natural.
Llamemos N a este número.
N = b!(1/(b+1)! + 1/(b+2)! + . . . ) = b!/(b+1)! + b!/(b+2)! + . . .
En esta suma, el primer término es igual a 1/(b+1). El segundo término es menor que 1/(b+1)^2. El tercero es menor que 1/(b+1)^3. El cuarto es menor que 1/(b+1)^4,...
Bueno, ya entendieron.
N < r+ r^2+r^3+...= 1/(1-r) – 1 = r/(1-r) = 1/b.
O sea que N es menor que 1 (y mayor que cero). No puede ser un número natural. Esto es absurdo! Y provino de suponer que e era racional, por lo tanto es irracional.
🅀🄴🄳
1. Se puede demostrar que e no sólo es irracional sino que es trascendente, pero no entra en un tweet.