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(va a cuenta de la seguidilla sobre Gauss)
Recordar: es la del Teo Central del Límite, la del billete de Gauss, la del tweet de TCL.
Para llegar hasta el final hace falta saber un poquito de integrales (🙏).
La onda es que la distribución Gaussiana (o Normal), que aparece en el Teorema Central del Límite es una distribución de verdad. 
Eso quiere decir que podemos calcular probabilidades midiendo el área bajo la curva (la campana): la probabilidad de caer en un intervalo es el área encerrada por la curva y el eje x en ese intervalo.
Para eso necesitamos que el área total debajo de la curva sea 1.
Eso es lo que venimos a demostrar. Reescribimos entonces
🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰
El área bajo la campana de Gauss es 1
🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰
El área bajo la campana de Gauss es 1
Para los que sepan integrar, se dice así
O lo que es lo mismo
Hasta acá es bastante aburrido. Calcular una integral.
La cosa se pone linda porque la campana de Gauss no tiene una integral indefinida elemental.
Eso quiere decir que nos podemos pasar toda la vida tratando de encontrar la primitiva de la campana para usar la Regla de Barrow y calcular la integral y no lo vamos a lograr.
Eso quiere decir que nos podemos pasar toda la vida tratando de encontrar la primitiva de la campana para usar la Regla de Barrow y calcular la integral y no lo vamos a lograr.
Y entonces que facciamo?
Hay una simple y maravillosa idea, que al parecer se la debemos a Poisson. Se llama duplicación de variables, se usa mucho en física estadística y es así
Hay una simple y maravillosa idea, que al parecer se la debemos a Poisson. Se llama duplicación de variables, se usa mucho en física estadística y es así
Demostración: En lugar de calcular la integral, vamos a calcular su cuadrado. Después al resultado le calculamos la raíz y listo!
La última integral es una integral “en dos variables” y en lugar de un área, representa un volumen. El volumen debajo de esta “sábana”.
Pero ahora este volumen lo podemos partir en un montón de (infinitos) círculos "horizontales" de distinto tamaño (lo ven?) así que podemos calcular el volumen como la suma (integral) de las áreas de los círculos.
Principio de Cavallieri se llama eso.
Fíjense que si cortamos nuestro volumen a una altura z (horizontalmente), obtenemos un círculo de radio √(-2 ln z). Por lo tanto su área mide π(-2 ln z). Así que lo que queremos calcular es
Pero esta es fácil. De hecho,
