Thread by @pgroisma

Hoy no podía faltar el

🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰 🅳🅴🅻 🅴🆂🅲🆁🆄🆃🅸🅽🅸🅾

Si en una votación entre dos candidatos, n votantes votan por A y m votantes votan por B (con n>m) la probabilidad de A le vaya ganando a b a lo largo de todo el escrutinio es

(n-m)/(n+m)

#TeRegaloUnTeorema

🎁Aprovechá y regaláselo hoy a alguien que no vote como vos.

🗣️Y hacé RT para ayudar a difundir #TeRegaloUnTeorema que si no, se cae el sistema 😱

Ejemplo: Si hay 5 votantes, 3 votan por A y 2 votan por B, los posibles escrutinios (el orden en que aparecen las boletas cuando se abre la urna) son

AAABB
AABAB
ABAAB
AABBA
ABABA
ABBAA
BAAAB
BAABA
BABAA
BBAAA

Todos tienen la misma chance y solo en los 2 primeros A va ganando todo el tiempo. Entonces la probabilidad es 2/10 = 1/5 = (3-2)/(3+2)

Fíjense que el enunciado del teorema tiene como datos la cantidad de votos que obtuvieron A y B, aunque eso no es información disponible antes de hacer el escrutinio. Está disponible al final del escrutinio, pero en ese momento la probabilidad en cuestión ya cambió ¿no? 🤔

A pesar de eso, todo esto tiene total sentido (¿lo tiene?). 🤔

El teorema también asume que las boletas se van sacando al azar e independientemente de la urna. No lo pusimos antes para no arruinar el enunciado, pero es una hipótesis fundamental (y parece ser que no es válida últimamente)

🅳🅴🅼🅾🆂🆃🆁🅰🅲🅸🅾🅽

Llamamos un escrutinio a un posible orden en que van aparenciendo las boletas, o sea cada una de las tiras tipo AABBA del ejemplo.

Identificamos cada escrutinio con una trayectoria como la del dibujo, que empieza en 0, va uno para arriba si viene un voto para A y uno para abajo si es para B. Entonces queremos calcular la probabilidad de que la trayectoria no toque el eje x (salvo al comenzar, claro).

Vamos a concentrarnos en las trayectorias en que NO pasa eso, es decir, que vuelven al eje x (como en el dibujo de arriba, en que el escrutinio está empatado en algún momento, tres veces de hecho)

Si el primer voto es para A y la trayectoria vuelve a tocar el eje x en algún momento (digo “vuelve” porque está en el eje x al comienzo del escrutinio), podemos identificarla con una trayectoria “reflejada”.

Reflejamos solo la parte de la trayectoria que está entre el momento de comenzar el escrutinio y el primer momento en que A y B están empatados (cuando la trayectoria vuelve a tocar el eje x). El resto la dejamos tal cual. Como en el dibujo.

Estas trayectorias, (las originales y las reflejadas) están en correspondencia “uno a uno” y por lo tanto tenemos la misma cantidad. Repito: tenemos la misma cantidad de trayectorias que empiezan hacia arriba y vuelven al eje x, que las que empiezan hacia abajo y vuelven al eje x

Como todas las trayectorias son igualmente probables (¿lo son?), obtenemos que la probabilidad buscada es

prob = 1-prob empate en algún momento
= 1 – prob tray vuelve al eje x
= 1 – prob tray vuelve al eje x y empieza ganando A ó B 🤔

Acá viene la magia (seguimos la cuenta de arriba)

= 1 – 2 ·(prob tray vuelve al eje x y empieza ganando B)
= 1- 2 · (prob empieza ganando B)
= 1 – 2·(prob el primer voto es para B) = 1 – 2·n/(n+m)
= (n-m)/(n+m)

🆀🅴🅳

Notas:

1. ¿ Por qué es importante reflejar solo la primera parte de la trayectoria?
2. A ese truco se lo llama Principio de Reflexión y es super útil para calcular probabilidades en paseos al azar, colas de atención, finanzas y fenómenos microscópicos.
3. Buena votación!