Thread by @pgroisma

Día de los muertos
🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰 🅳🅴 🅻🅰 🆁🅴🆂🆄🆁🆁🅴🅲🅲🅸🅾🅽
(o cómo muestrear eventos de probabilidad cero)
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Suponete que nuestras vidas pueden ser modeladas con una cadena de Markov. Eso significa que si nos encontramos en un estado x al día siguiente pasaremos a estar en otro estado y. La probabilidad de que pase eso depende sólo de x (y de y). Nada más.

Eso se suele llamar propiedad de falta de memoria y es muy recomendable para hacer matemática y muy poco recomendable para la vida de las personas y de los pueblos.

Todos queremos saber cómo será nuestra vida cuando nos hayamos estabilizado (?). A eso se le llama distribución estacionaria.

Es una distribución de probabilidades (asigna una probabilidad a cada posible estado) que satisface que si elegimos un estado de acuerdo a esa distribución y avanzamos un día, obtendremos la misma distribución. Y entonces lo mismo pasará luego de 2 días, 3, 100, 1000 años, etc

Muchas cadenas de Markov tienen estas distribuciones estacionarias pero si consideramos la que modela nuestras vidas, la única distribución estacionaria posible es la que le asigna probabilidad 1 al estado QEPD. Muerto. Así que no parece muy interesante.

Entonces eso no es lo que nos interesa realmente. Lo que nos interesa es una distribución "estacionaria" pero antes de morirnos. Digamos que algo estacionario pero no taaaaaaaaan estacionario como la muerte.

A estas distribuciones se las llama distribuciones cuasi-estacionarias y son súper importantes para estudiar muchos fenómenos en física, biología, epidemiología, etc.

Y una de de las preguntas del millón es cómo hacer para obtener una muestra de ella, ya que es una muestra de nuestro estado en la vida condicional a que no nos morimos, cosa que tiene probabilidad cero a la larga.

En 2011, con A. Asselah y P. Ferrari demostramos que el siguiente mecanismo te da esas muestras que estás buscando: en vez de simular UNA cadena de tu vida, multiplicate por N. Considerá N copias de tu vida y dejalas que evolucionen independientemente.

Como ya sabemos, a todas les espera la muerte al final del camino. Pero como se van muriendo de a una, cuando una se muere la hacemos renacer eligiendo una de las N-1 copias que no están muertas.

De esa forma logramos que las N copias de nuestra vida sigan vivas para siempre y después de un tiempo tienden a una distribución estacionaria.

Lo que demostramos es que en esa distribución estacionaria de las N copias que renacen, cada una de esas copias tiene una distribución que se aparece a la distribución cuasi-estacionaria (la aproxima cuando N se hace cada vez más grande).

Esto tiene un montón de aplicaciones. Por ejemplo, es lo que hace a grandes rasgos el algoritmo PageRank de Google para decidir qué páginas de muestra como resultado de una búsqueda.

Pero también sirve para estudiar poblaciones (que no se extinguieron), epidemias en curso (endémicas) y muchos otros fenómenos de baja probabilidad. Si quieren más detalles, pueden ver en…

mate.dm.uba.ar/~pgroisma/curs…

o

arxiv.org/abs/0904.3039

*como muestrear CONDICIONAL a eventos de probabilidad cero 🤦