Thread by @juliomulero

¿Piensas que las matemáticas son ajenas a todo tipo de arte? ¿Estás convencido de que las matemáticas no tienen nada que ver con la vida real?

En ese caso (y también en el caso contrario):

¡Adelante! ¡Adéntrate en el fascinante mundo de LOS FRACTALES!

Dentro HILO 🔽

Resulta que la vida no es lineal; sus bellos caminos, retorcidos y sinuosos, están llenos de encrucijadas;

"los árboles no son conos, las montañas no son pirámides, las líneas de costa no son rectas, las nubes no son esferas…",

la vida tiene geometría fractal...

Fue el hombre quien necesitó retener la naturaleza en puntos, líneas, planos y superficies, a imagen y semejanza del sol y la luna, la línea del horizonte y los ojos de sus semejantes.

Al principio nació la geometría euclídea, a partir de tan sólo cinco axiomas, la herramienta perfecta para medir distancias, áreas y volúmenes; y relegó a un segundo plano a las enmarañadas y sinuosas formas de la madre naturaleza.

El proceso de abstracción asignó dimensión cero a un punto; dimensión uno a una recta (en ella, podemos calcular longitudes); dimensión dos a un plano (áreas); y dimensión tres a una superficie (volúmenes).

📽️ Gif by @beesandbombs

Tardamos siglos en comprender que tal abstracción no era suficiente para entender el mundo, porque el sol no es un punto; ni la línea del horizonte, una recta.

Porque la naturaleza se abre camino de forma inescrutable...

Fue Benoît Mandelbrot, matemático polaco del siglo XX, quien sentó las bases para una nueva forma de comprender el universo sin ignorar la esencia de los orígenes de la Tierra, de la vida y, ni siquiera, del ser humano.

Imaginemos, por un momento, que tratamos de medir la costa de Inglaterra con una regla enorme que mide 200 km. En ese caso, la longitud obtenida sería de 2 400 km. Una aproximación demasiado tosca.

Si usáramos una regla de 50 km, por ejemplo, el resultado de la medición será de 3 400 km. Lógicamente, ahora seremos capaces de medir recovecos que antes debíamos obviar. Aun así, seguiríamos pasando por alto pequeños cabos y bahías.

El sentido común nos haría pensar que las estimaciones acabarán acercándose al verdadero valor de la longitud costera. Sin embargo…

Mandelbrot se sorprendió al comprobar que la medida de la línea costera crece sin límite conforme la escala de medida se hace más pequeña (descendiendo incluso a escalas infinitamente pequeñas, si es necesario). Et voilà, ¡una línea de longitud infinita!

Todo surgió después de leer un trabajo de Richardson, un matemático inglés, que mostraba cómo diferentes enciclopedias asignaban longitudes distintas a las fronteras de dos mismos países. Si todas medían la misma distancia bajo el mismo sistema métrico, ¿por qué esas diferencias?

Lo cierto es que los términos longitud, área o volumen no tienen mucho sentido cuando se aplican a formas de la naturaleza, porque dependerán de la “vara” que se utilice para medir. Más aún…

Imaginemos ahora una bola hecha con un alambre fino. Vista desde lejos, se reduce a un punto (que tiene dimensión cero); pero, si nos acercamos, veremos desde un objeto extraño de tres dimensiones hasta un cordel enmarañado. Todo depende se según cómo se mire.

En 1967, Mandelbrot presentó estas cuestiones en su trabajo ¿Cuánto mide la costa de Inglaterra? y el recibimiento no fue muy acogedor. Unos pensaron que era evidente; otros, que estaba completamente loco. Aun así, nadie supo dar una respuesta concisa a esa pregunta tan simple.

Es evidente que la distancia a la que observemos los objetos condiciona nuestra percepción dimensional. La clave del trabajo de Mandelbrot fue introducir una explicación a aquellas percepciones tan distintas en términos de unas nuevas “dimensiones”.

Mandelbrot proporcionó una medida de la “rugosidad” del objeto. Por ejemplo, si queremos obtener cuán rugosa es la frontera entre España y Portugal, tomaremos medidas L(S) usando diferentes “varas” S y ajustamos una expresión del tipo A*S^{1-D} donde D es la “dimensión fractal”.

En este caso, a partir de ciertos algoritmos (box counting), obtendremos que la frontera entre España y Portugal tiene una dimensión fractal de 1.14. Lógicamente, un valor entre 1 y 2, puesto que es “algo más” que una recta y no llega a cubrir todo el plano.

Mandelbrot añadió, por tanto, al abanico de dimensiones ya conocidas (0, 1, 2 y 3), todas las dimensiones intermedias tales como 0.57, 1.14 ó 2.32, etc.

Una explicación más detallada puede consultarse aquí:
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Pero si con las dimensiones ya conocidas se obtenían puntos, rectas, planos o superficies, ¿a qué daban lugar aquellas dimensiones intermedias?

Lo cierto era que, aquellos extraños, pero bellos y cotidianos, objetos habían estado recluidos en la galería de los monstruos matemáticos, a pesar de que ya algunos matemáticos, como Gaston Julia ó Georg Cantor, habían procurado un acercamiento.

Mandelbrot, que trabajaba desde 1958 en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de IBM en Nueva York, comenzó a usar ordenadores para “desenmascararlos”, y no tardó mucho en reconocer ciertos patrones.

Y es que la naturaleza se repite a sí misma cuando dibuja el paisaje (autosimilaridad), de forma que, dependiendo de la distancia a la que se encuentre el observador, podemos contemplar copias parecidas (invarianza de escala).

La naturaleza crea, en efecto, estructuras estadísticamente autosimilares. Por ejemplo, esta fotografía podría ser la visión de un niño jugando en las marismas de Doñana, o la de un pescador sobre un puente ó, incluso, la de un pasajero desde un avión.

Motivado por estas propiedades, Mandelbrot encontró el nombre adecuado para estos curiosos objetos cuando leyó, en un diccionario de latín de su hijo, el adjetivo “fractus” del verbo “frangere” (romper). Los llamó FRACTALES.

A pesar de que actualmente los fractales son objetos ya muy (re)conocidos y es claro que comparten numerosas propiedades, no existe una definición unívoca. Existe, de hecho, una gran variedad de tipos.

Por una parte, algunos fractales son exactos o puros, puesto que se generan matemáticamente a partir de una figura inicial, una regla e infinitas y sucesivas iteraciones. Por ejemplo, el CONJUNTO DE CANTOR (infinitos puntos que miden lo mismo que un solo punto: NADA).

O el COPO DE NIEVE DE KOCH.

O el TRIÁNGULO DE SIERPINSKY.

Por otra parte, la geometría fractal está muy presente en la naturaleza: montañas, ríos, árboles, nubes, plantas… y, en ella, observamos fractales que no son exactos, pero que exhiben, en cierta manera, propiedades de autosimilaridad e invarianza de escala.

Un ejemplo clásico son los vasos sanguíneos que se dividen y ramifican haciéndose cada vez más pequeños. Sorprendentemente, ¡no ocupan más del 5% de nuestro cuerpo.

Si quieres saber para qué sirven, puedes visualizar este vídeo:
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Es asombroso cómo las matemáticas tardaron tantos años en mirar a los ojos a estos objetos que reflejan el nacimiento y evolución de nuestro mundo.

Es extraordinario cómo los fractales son capaces de darle sentido al CAOS.

Y es maravilloso cómo pueden dejarnos sin palabras ante su hermosa, inexplicable y equilibrada perfección.

🖼️ Imágenes de inspiración fractal creadas por:
deviantart.com/mailart-org/,
deviantart.com/bobrobon, deviantart.com/aexion, deviantart.com/digitalpainters

Benoît Mandelbrot, el domador de los monstruos, murió el 14 de octubre de 2010, pero nos dejó cara a cara con la razonable belleza de la vida misma.

Si has llegado hasta aquí, MUCHÍSIMAS GRACIAS. Y recuerda que:

“En algún lugar, algo increíble está esperando a ser descubierto”.

◼️ Carl Sagan