Thread by @pgroisma

Día de cierre de listas. Ideal para un teorema sobre racionalidad e irracionalidad.

A pedido de @wsosaescudero

Teorema. Raíz de dos es irracional.

#TeRegaloUnTeorema

Como lo hizo @wsosaescudero , se aceptan pedidos y sugerencias! (pero no prometo demostrar todo lo que pidan eh!)

Preliminares 1. un número es racional si se puede escribir como el resultado de dividir dos números enteros. Es irracional si no es racional.

De ahí la racionalidad de su nombre irracional (🤪)

Preliminares 2. Fíjense que demostrar que un número es racional parece ser mucho más fácil que demostrar que es irracional. Para esto último, hay que probar que NO es posible escribirlo como la división de dos números enteros.

Este hilo está dedicado a Hippasus. Pitagórico que murió en el mar ahogado por los dioses por divulgar la existencia de números irracionales. Que justo vino a ser raíz de 2.

Demostración.

Supongamos que sí lo es. Vamos a llamar p y q a esos dos números enteros que sirven para escribirlo. Entonces

√2=p/q

Si √2=p/q, entonces 2=p^2/q^2, y entonces 2q^2 =p^2 (el p^2 es p al cuadrado pero no se como escribirlo mejor en twitter)

O sea que p^2 es par. Pero para eso p tiene que ser par. Fíjense que si p fuera impar p^2 sería impar también.

Pero sí p es par, p^2 tiene que ser múltiplo de 4. Piensenlón.

Si p^2 es múltiplo de 4 y 2q^2=p^2, entonces q^2 tiene que ser par. Si no lo fuera...

Uff. Esto de razonar por el absurdo es absurdo! Bah, no sé si absurdo pero al menos agotador. Un cachito más.

Si q^2 es par, entonces q es par (si no lo fuera...)

Si p y q son ambos pares, podemos simplificar la fracción p/2 dividiendo arriba y abajo por 2. Entonces podemos escribir

√2=r/s

Con r=p/2 y s=q/2. Tanto r como s son números enteros porque p y q son pares.

Viene el climax...

...ahora podemos volver a empezar! Hacemos el mismo razonamiento y podemos volver a simplificar la fracción. Y una vez más, y otra más, etc. Podemos seguir simplificando indefinidamente.

Esto es absurdo! Y todo provino de suponer que podíamos escribir a √2 como el resultado de dividir dos números enteros. Por lo tanto, esto no es posible.
QED.

Perdón por avisar de la llegada al clímax. Es la mejor manera de arruinarlo, lo se. Pero quería hacer notar que una buena demostración tiene estos momentos. Como la música, el teatro, la literatura o las pelis.

*Podemos simplificar la p/q. No la fracción p/2.

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