Thread by @pgroisma

Hoy en #TeRegaloUnTeorema, Teorema Central del límite

Teorema: Si se suman cantidades aleatorias de similar magnitud y sin demasiada dependencia, se obtiene una cantidad aleatoria, pero se puede calcular su distribución aprox. Está dada por la campana de Gauss y no depende de cómo es la aleatoriedad de las cantidades originales!

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El primero que lo postuló fue de Moivre en 1733 para tiradas de moneda: se tiran muchas monedas y se cuenta la cantidad de caras obtenidas. La probabilidad de que ese número esté entre dos a y b se aproxima por el área bajo la campana de Gauss entre x=a y x=b

Fue prácticamente olvidado hasta que lo rescató Laplace en 1812 en su monumental Théorie analytique des probabilités. Por eso a la versión para monedas se la llama Teorema de de Moivre-Laplace. Es la que se ve en la animación de arriba. Hay que reemplazar cara/ceca por izq/der.

Llevó cerca de cien años más hasta que Lyapunov lo postuló en forma general y dió una prueba satisfactoria, en 1901.

Hay quien dice que es la mayor contribución de la matemática a la ciencia. Yo no creo que sea taaan así, pero me gusta que haya gente que lo piense.

Es un hermoso ejemplo de universalidad: las propiedades macroscópicas (la suma) no dependen de los detalles microscópicos (la distribución de los sumandos).

Uno que le dio un uso espectacular fue un tal Einstein, en uno de sus milagrosos artículos de su año idem, 1905. Ahí lo uso para explicar el movimiento errante de una partícula de polen en un espejo de agua.

Explicación que llevó a Perrin a hacer los experimentos correpondientes y dar por cerrada la discusión sobre la existencia de los átomos y las moléculas como entes reales.

La universalidad acá jugó un rol fundamental. Einstein hizo las cuentas como si la partícula de polen se moviera tirando una moneda. Muucho más simple que en la realidad. Pero la universalidad lo (nos) salvó.

La prueba clásica de este teorema está basada en la Transformada de Fourier y sus propiedades. Un enfoque netamente distribucional.

Kolmogorov decía “Es de esperar que...los probabilistas de la generación más joven, en la locura por el poder de métodos relacionados con las distribuciones en los espacios funcionales, no olviden los métodos directos”

Skorkhod amaba los métodos directos y en 1965 dió una prueba espectacular. Tremendamente directa. La esencia de la prueba es mostrar que cualquier variable aleatoria con varianza finita se puede construir observando un Movimiento Browniano en un tiempo adecuado.

Tiene el triste record de ser uno de los teoremas más abusados (entiéndase por su uso en condiciones en que no se verifican sus hipótesis)

También hay otras “clases de universalidad”. En fenómenos de crecimiento aleatorio de superficies se espera un fenómeno de universalidad similar, pero muy poco está demostrado aún. Estamos en la estapa de Moivre-Laplace.

Dos de los grandes responsables de lo que sí sabemos (por sus contribuciones) son Herbert Spohn y Martin Hairer. El primero fue premiado esta semana en Buenos Aires con la Medalla Boltzmann en @StatPhys27 justamente por eso.

El segundo recibió la Medalla Fields en 2014 por construir la teoría que permite demostrar que el equivalente a la “gaussiana” que aparece en este contexto (la solución de la ecuación KPZ) está bien definida. O sea, también por eso. También habló en @StatPhys27 esta semana.

Esta historia continuará…

(porfa comenten si encuentran errores o lo que quieran)

Ahhhh, el miercoles que viene lo tenemos a Spohn en el seminario de probabilidad, en @Exactas_UBA. Están todes invitades.
mate.dm.uba.ar/~probab/semina…

Buen viernes!