Thread by @aprobandomates

El médico que se inventó un número (y la lió parda).

Abro hilo
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Todos aprendemos en el colegio los números naturales, los enteros, los racionales e irracionales (los que tienen decimales, aunque sean infinitos)... y a todos estos números los llamamos reales.

Todos ellos los podemos representar mediante puntos en la recta real. Los enteros en su sitio y los decimales entre los enteros. Por ejemplo, el 4'2 estará entre el 4 y el 5, pero más cerca del 4.

Con esos números aprendemos a hacer operaciones y resolver ejercicios, y en un momento dado, a resolver ecuaciones de segundo grado con esta fórmula que al principio nos parecía imposible recordar.

Luego vemos que no es difícil de aplicar, pero a veces nos encontramos con un problemilla: ¿qué pasa cuando tenemos que hacer la raíz de un número negativo? No hay ningún número que multiplicado por sí mismo dé uno negativo, ¿no?

¿Lo dejamos así? ¿Sin resolver? ¿Llamamos a @DesatranqueJaen?
¿Cambiamos el signo y seguimos como si nada esperando que el profesor no se dé cuenta? (se da cuenta, ya os lo digo yo)

En esas estaba el protagonista (o uno de ellos) de nuestra historia.
Cardano, médico de formación, estaba investigando la manera de resolver ecuaciones de tercer grado. Y la encontró.

Sin detenernos en ese método (que encontró de una manera no muy ortodoxa, aunque eso, como su peculiar vida, es otra historia), el caso es que implicaba resolver ecuaciones de segundo grado. Y claro, las raíces de números negativos le venían muy mal.

Así que va el tío y dice: “Que no existen las raíces de números negativos? Pues me las invento, que para eso soy de Bilb... de Pavía (Italia)”.

No les hizo mucho más caso, pero acababa de inventar el número imaginario i., que es la raíz de -1.

El nombre de “imaginario” se le atribuye a Euler, a quien por lo visto no le hacía mucha gracia eso de inventarse números.
Pero tuvo que ser Bombardelli, ingeniero, quien hiciera un estudio más formal de este número, combinándolo con los números reales (los de toda la vida).

Nacieron así los números complejos, llamados así por Gauss (que estaba en todos los ajos el tío).

No os asustéis, que no se llaman complejos porque sean complicados, sino porque tienen dos componentes: una real a y una imaginaria b.

Se escriben de la forma (a+bi)

Existen otras maneras de expresarlos, pero de momento vamos a quedarnos con la forma binómica. Estudiando esas otra maneras podemos llegar a la que muchos consideran la expresión más bonita de las matemáticas (si queréis, otro día os hablo de ella)

“Y estos números complejos, ¿cómo se representan en la recta real?”

No se representan en una recta, sino en un plano, y se asocian con vectores (flechas). La componente real a representa el desplazamiento horizontal, y la componente imaginaria b el desplazamiento vertical.

Por ejemplo, el número complejo 5+3i se representa con una flecha que se desplaza 5 unidades en el eje horizontal y 3 en la vertical (en rojo). En azul vemos el número 4-2i, en el que el desplazamiento vertical, al ser negativo, es hacia abajo.

“¿Se pueden sumar y hacer operaciones con ellos igual que con los números reales?”

¡Claro! Por ejemplo, la suma es muy intuitiva.
Podemos sumar (3-2i)+(5+7i) y el resultado es el número complejo 8+5i. Es decir, sumamos las partes reales e imaginarios de cada número.

El significado de la suma lo podemos ver geométricamente.
Si dibujamos la flecha 3-2i, y a partir de su extremo la flecha 5+7i, vemos que la flecha que une el origen con el extremo es 8+5i, que es el resultado de la suma.

Ya hemos dicho que esto surgió de la necesidad de resolver raíces cuadradas de números negativos, pero es que nos permite hacer raíces de índice mayor.
Sin meternos tampoco en ese cálculo, ojo con la consecuencia de esto...

Resulta que ahora si hacemos la raíz sexta de un número, obtenemos 6 soluciones complejas. Y si representamos esas 6 soluciones obtenemos... ¡un hexágono regular!
Y haciendo una raíz octava obtendríamos ¡un octógono!

¡No me digáis que no es para quedarse cuajado!

“Vale, vale, muy bonito todo, pero... ¿todo esto para qué sirve?”

Los números complejos tienen multitud de aplicaciones en matemáticas, construcción de fractales, aeronáutica... y en todo tipo de señales sinusoidales, como la corriente eléctrica.

Y, lo mejor de todo, los números complejos sirven para seguir investigando en matemáticas y buscar todas las aplicaciones que tienen, pero que aún no conocemos.

¡La que has liado, Cardano!

Aquí podéis leer el resto de mis hilos:

https://twitter.com/aprobandomates/status/1070765441939898369?s=19

Fe de erratas:

El apellido del ingeniero era Bombelli, no Bombardelli.

Gracias a @Mateclips_uy por la corrección.