Thread by @archimedestub

Hoy vamos a hablaros de una de las grandes revoluciones de la historia de las matemáticas, La Paradoja de Russell; un sencillo enunciado (el que veis dibujado en el humo de la pipa de nuestro protagonista) que desestabilizó todo el edificio de las matemáticas.
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El germen de esta revolución lo encontramos en el siglo XIX y su corriente axiomática. En ese momento se empezaron a cuestionar ciertas ideas que se daban por hecho, como la certeza en el quinto postulado de la geometría de Euclides.

El influyente matemático Leopold Kronecker había dicho una de las frases más célebres de la Historia de las Matemáticas “Dios creó los números, el resto es obra del hombre”. Donde por números se refería a los naturales, los de contar de toda la vida.

Cantor trató de dar una axiomática para los números naturales basándola en la teoría de conjuntos. Publicó sus ideas en 1883 con el título “Fundamentos para una teoría general de conjuntos”, obra que tenía como subtítulo “una investigación matemático-filosófica sobre el infinito”

En su obra, Cantor pedía perdón por utilizar la idea de infinito como objeto matemático, pero a pesar de ello enfureció a parte de la comunidad matemática capitaneada por Kronecker, que llegó a presionar a las revistas especializadas para evitar que publicaran sus resultados.

Afortunadamente, algunas figuras relevantes como David Hilbert y Gottlob Frege apoyaron las teorías de Cantor y este pudo ver reconocida su labor en vida.
Como diría Hilbert “Nadie podrá expulsarnos nunca del paraíso que Cantor creó para nosotros”.

Gottlob Frege tuvo claro que la teoría de conjuntos de Cantor era la respuesta a la fundamentación de la matemática. Se convirtió en uno de lógicos más importantes desde Aristóteles y dedicó su vida a formalizar con absoluto rigor la teoría de conjuntos iniciada por Cantor.

Para Frege la capacidad humana para familiarizarse con los números naturales no podía estar relacionada con la experiencia directa o el espacio geométrico, sino con el lenguaje y la lógica. Este tipo de interpretación filosófica de las matemáticas se conoce como LOGICISMO.

Para definir los conjuntos, Frege adoptó el “axioma de comprensión” que afirma que existe cualquier conjunto definido por una propiedad. Esto que parece tan inocente se convertiría en la mayor pesadilla de la Historia de las Matemáticas. Vamos a verlo con un poco más de detalle.

De un modo intuitivo definimos un conjunto como una colección de cosas a las que llamamos elementos de dicho conjunto.

Normalmente escribimos x pertenece al conjunto A para decir que x es un elemento de dicho conjunto y x no pertenece al conjunto A para decir que x NO es un elemento de A.

Cualquier objeto al que pueda referirse la matemática es un elemento de un conjunto. Existen conjuntos de números, de libros, de gatitos, etc.

Existen dos modos de definir los elementos de un conjunto: por extensión y por comprensión.

Definimos los elementos de un conjunto por extensión designando cada uno de ellos en particular. Por ejemplo, el conjunto A consta de los elementos 2, 4, 6 y 8. Lo escribiremos como: A={2, 4, 6, 8}
Por extensión sólo podemos definir conjuntos con un número finito de elementos.

Definimos los elementos de un conjunto por comprensión expresando una propiedad que cumplan todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto A también se puede definir como:
A = { x tales que x es un número natural par menor que 10 }.

La definición de un conjunto por extensión no ofrece problemas, ya que siempre tenemos una designación clara y efectiva de cuáles son sus elementos. La definición por comprensión puede volverse problemática en el caso de conjuntos con un número infinito de elementos.

Un ejemplo de conjunto con infinitos elementos sería: P = { x tales que x es un número natural par }.
Bueno, ¿y cuál es el problema?

Hemos dicho que cualquier objeto es elemento de algún conjunto. Un conjunto también puede ser un elemento de otro conjunto.
Por ejemplo, podemos definir un conjunto cuyos tres elementos sean precisamente los tres conjuntos de números, libros y gatitos que acabamos de ver.

Consideremos ahora el conjunto cuyos elementos son todos los gatitos del mundo. Está claro que el conjunto no es un gatito y por tanto no es un elemento de sí mismo.
Los conjuntos que cumplen la condición de no ser elementos del propio conjunto se llaman conjuntos NORMALES.

¿No son todos los conjuntos de este tipo? ¿De verdad existen conjuntos que se contengan a sí mismos como elemento?
Pensemos por ejemplo en el conjunto de todos los objetos matemáticos. El propio conjunto es un objeto matemático, y por tanto es elemento de sí mismo.

O el conjunto de todas las cosas que no son un gatito. Se ve claramente que el conjunto no es un gatito ¿verdad?, y por tanto debe ser un elemento de sí mismo.
Los conjuntos que se contienen a sí mismo como elemento se denominan conjuntos SINGULARES.

Además, tenemos que estas definiciones son exhaustivas y excluyentes: todo conjunto que podamos imaginar es normal o singular, y además sólo puede ser de uno de los dos tipos.
¡Pues ya estamos en disposición de entender La Paradoja de Russell!

Mientras Frege trabajaba en el segundo tomo de “Fundamentos de la Aritmética” un joven matemático británico llamado Bertrand Russell comenzó a estudiar su obra y encontró que gran parte de las ideas en las que estaba trabajando ya habían sido publicadas por Frege 20 años antes.

A pesar de que Russell, al igual que Frege, buscaba cimentar el edificio de las matemáticas, lo que descubrió fue más bien una carga explosiva en sus cimientos.

El 16 de junio de 1902 Frege recibía una carta de Russell que contenía la paradoja, y que hizo a Frege parar la impresión de su segundo tomo e incluir un apéndice al final del libro, reconociendo que posiblemente todo el contenido de este y el primer tomo era erróneo.

Russell consideró el conjunto de todos los conjuntos NORMALES. Es decir, M= { x | x no pertenece a x }
Entonces M como conjunto debe ser o bien NORMAL, o bien SINGULAR.

Si M es NORMAL eso quiere decir que M no pertenece a M, pero esta es justamente la condición que define los elementos de M y por tanto tendríamos que M pertenece a M, es decir, M es SINGULAR.

Pero si M pertenece a M, no cumple la condición que define a M, y tendríamos que M no pertenece a M, y por consiguiente, es NORMAL. Podemos seguir así indefinidamente.
Lo que hemos visto es que M pertenece a M si y solo si M no pertenece a M, lo que constituye una contradicción.

Para entender la paradoja mejor, vamos a cambiar los conjuntos por libros e imaginarnos que en la inmensa biblioteca de Russell están todos los libros del mundo.
Un libro A puede “incluir” a otro libro B como elemento, si en el texto del libro A se hace referencia al libro B.

El bibliotecario Russell un buen día decide ordenar todos los libros en tan solo dos estanterías altísimas.

En una colocará los libros que no se incluyen a sí mismos como referencia; llamémosles libros NORMALES. En la otra, colocará los libros que se referencien a sí mismos.

Por ejemplo, casi todos los libros de matemáticas estarán en esta estantería ya que dicen “por el Teorema X que vimos en la página Y” lo que es una referencia a sí mismo. El Quijote y La Historia Interminable serían de este tipo. A estos los llamaremos libros SINGULARES.

Todo libro debe estar en una de estas dos estanterías.
Pero, ¿estamos tan seguros? El bibliotecario decide rellenar dos catálogos, uno para los libros normales y otro para los libros singulares. Una vez finalizados los catálogos tiene que decidir en qué estantería colocarlos.

El catálogo de libros singulares lo coloca en la estantería de libros singulares, añadiendo una última línea en dicho catálogo: “Catálogo de libros singulares”, dado que dicho catálogo aparece en la última línea se referencia a sí mismo, y es en esta estantería donde debe estar.

¿Pero, y el catálogo de libros normales? Si lo coloca en la estantería de libros normales, deberá añadir una última línea que diga “Catálogo de libros normales”, pero entonces automáticamente dejará de ser un libro normal, pues se referencia a sí mismo.

Pero, ¡un momento! Entonces no debe aparecer en la última línea del catálogo de libros normales, pues no lo es. La tachamos.
Pero si tachamos esta línea ya no se referencia a sí mismo y sería un libro normal, y debemos moverlo de estantería. Pero…

¡El catálogo de libros normales parece no encajar en ninguna de las dos estanterías!
El hecho de que no encaje en ninguna de las dos estanterías entra en contradicción con que cualquier libro debía de estar clasificado en alguna de las dos.
¡ESTA ES LA PARADOJA DE RUSSELL!

¿Acaso todo el edificio de las matemáticas es una mera falacia y debemos dejar de confiar en ella?
Alfred North Whitehead, colaborador y amigo de Russell diría que “nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana”.

¿Acudirá algún superhéroe matemático al rescate del edificio de las matemáticas? Muy pronto lo desvelaremos en youtube.com/c/archimedestu…