Hoy, #TeRegaloUnTeorema Borgeano
𝓔𝓵 𝓟𝓵𝓪𝓷𝓸 𝓭𝓮 𝓑𝓪𝓫𝓮𝓵
(perdón Borges, perdón Poisson 🙏)
Hagamos un experimento mental. Arrojemos infinitos puntos al azar en el plano infinito...
(sigue)
𝓔𝓵 𝓟𝓵𝓪𝓷𝓸 𝓭𝓮 𝓑𝓪𝓫𝓮𝓵
(perdón Borges, perdón Poisson 🙏)
Hagamos un experimento mental. Arrojemos infinitos puntos al azar en el plano infinito...
(sigue)
... como en el dibujo, pero se extiende infinitamente…
Se puede? Es posible demostrar que ese objeto matemático existe a partir de axiomas? Se puede elegir un punto al azar en el plano (de forma que todas las regiones del plano tengan “igual probabilidad”)?
Se puede? Es posible demostrar que ese objeto matemático existe a partir de axiomas? Se puede elegir un punto al azar en el plano (de forma que todas las regiones del plano tengan “igual probabilidad”)?
Rta: uno sólo NO se puede, pero infinitos sí! A ese objeto se lo llama Proceso de Poisson en el plano (PPP). En una región típica del plano luce más o menos como en el dibujo, pero… podremos encontrar otras cosas también?
Una cruz? Un triángulo? Un círculo? Pi?
Una cruz? Un triángulo? Un círculo? Pi?
La firma de Maradona?
El retrato del propio Maradona?
La demostración del Teorema de Pitágoras?
🆃🅴🅾🆁🅴🅼🅰
Todos. Sí, todos ellos aparecen en el PPP. Infinitas veces!
Todos. Sí, todos ellos aparecen en el PPP. Infinitas veces!
Dice Borges en “La Biblioteca Total”
Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos,
Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos, la demostración de la falacia de esos catálogos,
la demostración de la falacia del catálogo verdadero, el evangelio gnóstico de Basílides, el comentario de ese evangelio, el comentario del comentario de ese evangelio, la relación verídica de tu muerte, la versión de cada libro a todas las lenguas,
las interpolaciones de cada libro en todos los libros, el tratado que Beda pudo escribir (y no escribió) sobre la mitología de los sajones, los libros perdidos de Tácito"
Y en el PPP pasa lo mismo. Todo, absolutamente todo, aparece en el PPP, con probabilidad uno.
Tal vez sea hora de empezar a llamarlo Proceso de Borges-Poisson.
Tal vez sea hora de empezar a llamarlo Proceso de Borges-Poisson.
🅳🅴🅼🅾🆂🆃🆁🅰🅲🅸ó🅽
Vamos a usar el Lema de Borel-Cantelli que dice
Consideremos un experimento y un posible resultado que tiene probabilidad positiva de ocurrir (ej: lanzar 1000 monedas y que en todas salga cara).
Vamos a usar el Lema de Borel-Cantelli que dice
Consideremos un experimento y un posible resultado que tiene probabilidad positiva de ocurrir (ej: lanzar 1000 monedas y que en todas salga cara).
Si repetimos el experimento infinitas veces en forma independiente, el resultado en que estamos interesados ocurrirá infinitas veces. La demostración la dejamos para otro día, ahora lo usamos.
Para demostrar el teorema, dividimos el plano en cuadrados de lado uno. Nos queda un embaldosado infinito. En cada cuadradado, la probabilidad de que aparezca la firma de Maradona es positiva. Muuuy baja, pero positiva.
Como lo que pasa en distintos cuadrados es independiente y son repeticiones del mismo experimento, estamos en condiciones de aplicar el Lema de Borel-Cantelli. Asi que la firma del Diego (y todo lo demás) no solo que va a aparecer sino que va a aparecer infinitas veces.
