Thread by @pgroisma

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Existe la deformación armónica de la triangulación Delaunay-Poisson, se porta bien y luce así. #TeRegaloUnTeorema

(tiene que ver con Teo Central del Límite)

📣Porfa RT asi difundimos 🙏

Este lo hicimos junto con Rafael Grisi y Pablo Ferrari (💪💪💪). Lo pueden encontrar aca arxiv.org/abs/1012.1677

Ponele que querés hacer un paseo al azar por este dibujito. Un paseo al azar es empezar por un vértice e ir saltando de vértice en vértice eligiendo al azar entre todos los vértices vecinos de donde estoy para dar el salto. Si lo mirás desde muuuy arriba, se lo ve así

Casualmente (comillas comillas) este movimiento es el mismo que observó Robert Brown en 1827 en su microscopio cuando observaba un partícula de polen en un espejo de agua. La partícula se movía en forma errática. Llegó a conjeturar que la partícula estaba viva.

Al movimiento que descubrió Brown lo llamamos hoy (redoblantes) Movimiento Browniano.

En su milagroso año 1905 Einstein publicó este artículo, explicando lo que veía Brown y sentando las bases para que Perrin haga los experimentos que darían por terminada la discusión sobre la existencia de los átomos y moléculas.

Einstein decía que el movimiento que observaba Brown se debía al constante choque de la partícula de polen con las moleculas de agua. Lo que hace que la partícula se mueva (microscópicamente) como si fuera un paseo al azar.

Einstein usó una especie de Teo Central del Límite (TCL) para argumetar que como la posición de la partícula luego de un tiempo está dada por la "suma de los pequeños desplazamientos debido a los choques con las moléculas" (que son (ponele) iid), debe tener distribución Gaussiana

Universalidad.

Es la palabra clave para justificar que a pesar de que el fenómeno es mucho más complejo, igualmente vale el TCL en este contexto.

Volviendo a lo nuestro, si querés demostrar (en sentido matemático) que el paseo al azar por los vértices de un dibujo como este se parece al Movimento Browniano cuando lo mirás desde muy arriba, es un quilombo.

El dibujito de arriba se armo tirando puntos al azar en el plano y uniendo los puntos que estan "cerca". Se llama triangulación de Delaynay. Es muy divertida.

Peero. Si querés demostrar que el paseo al azar en este dibujo se parece al Movimiento Browniano, la cosa es mucho más facil. Lo que tiene este dibujo de especial es que cada vértice está exactamente en el baricentro de sus vecinos (en el medio, bah). Se lo llama grafo armónico.

Lo que dice nuestro teorema es que podés pasar de la situación donde todo es un quilombo a la situación fácil, sin mover demasiado los puntos. Y que entonces al paseo al azar en las dos situaciones se lo ve igual si se lo mira desde muy lejos.

Como en la situación "fácil" es fácil probar que el paseo al azar desde el cielo se ve como un Movimiento Browniano, podemos concluir que lo mismo vale en la situación dificil. Típico de matemáticos: convertir el caso dificil en uno en donde se puede hacer algo.

Hay más dibujos asociados a este teorema. La teselación de Voronoi (armónica) se arma separando el plano en regiones. A cada punto de la triangulación le corresponden todos los puntos del plano que están más cerca de él que de los demas. También es re-linda. Mirá.

Los dibujitos quedaron tan lindos que llegamos a exponerlos en el Centro Cultural Recoleta durante el festival matbaires09 y quedó este en forma permanente en Mathematikon: el shopping matemático de Heidelberg (gracias a @imaginary_math).

Buen finde!
#TeRegaloUnTeorema

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