量子力学は、情報理論の一種です。量子状態は、任意の物理量を測定したときのその観測値の確率分布を与えます。また逆にある物理量の確率分布が分かると、量子状態は一意に定まります。つまり「量子状態」＝「物理量の観測値の確率分布の集合」ということです。
「波動関数」とは、物理的には量子状態と同じものです。ただ数学的には観測量に影響を与えない位相因子exp(iδ)の自由度が波動関数には出てきますが、基本的に両者は同じものです。
例として一番簡単な２準位から成る量子ビット系を考えましょう。状態ベクトル表示（波動関数表示でも同様）で、その任意の状態は下記のような長さ１であるベクトルで表現されます。 
右辺の項全体にかけられているexp(iδ)という因子は、量子力学では任意の物理量の観測結果に影響をしません。そんな要らない因子を数学的表記から追い出したい場合には、下記のような密度行列表記をとれば良いです。
この密度行列表示は大変便利で、確率的に混合した量子状態ρも記述できます。これに使用される確率分布のある１つの成分が１であって、他成分は零のとき、その状態は純粋状態と呼ばれます。そうでないときは混合状態と呼ばれます。
任意の状態ρに対して、任意の物理量の測定が可能です。量子ビット系の物理量σは２次元エルミート行列で書けます。下記の表記では係数a,b,cは全部実数で、かつσの２乗のトレースが１であるという規格化条件を満たしたものになります。
状態ρのもとで物理量σを測定するとき、その行列の固有値である＋１かー１が観測されます。各々の固有値を、|u>と|v>と書きましょう。
固有ベクトルの長さは１に規格化されているとすると、σ=+1となる確率p_uとσ=-1となる確率p_vが下記のように状態ρから計算できます。
従って、量子状態ρは任意の物理量σの確率分布を与えることがわかります。
逆に、ある物理量の確率分布を与えると、量子状態ρは一意に決定できます。まず物理量σに対する期待値を、下記のように計算します。
ある直交座標系のx軸y軸z軸を固定して定めたパウリ行列に対応する以下の３つの物理量を考えましょう。するとその３つの期待値を実験で測定することで、元の量子状態ρは一意に下記のように決定されます。これは、量子状態トモグラフィと呼ばれています。
従って、今度は物理量の確率分布が状態ρを与えることがわかりました。数学の確率論や情報理論では、確率分布はその系に関する情報とみなされるので、量子状態は系に関する情報の束そのものであると、自然に理解されるのです。
波動関数つまり量子状態は、今となって確率分布の束に過ぎないと、ご理解頂けたと思います。さて波動関数の収縮ですが、ある確率分布をしている物理量の測定をしてある結果を得た時、その後の確率分布はその値に局在したものに置き換わりますよね。
例えば+が出る確率がp(+)=1/2で、-が出る確率がp(-)=1/2となる一様分布の元で、測定したらσ=+が観測できたとしましょう。するとその確率変数の測定後の確率分布はp(+|σ=+)=1, p(-|σ=+)=0という新しいものに更新されます。これが従来波動関数の収縮と呼ばれていたものです。
量子力学が確率論に基づいた情報理論である限り、「波動関数の収縮」は極当たり前のことなのです。波動関数は飽くまで情報の束であり、決して物理的な実在ではないので、測定した瞬間にそれが変化しても、系の知識の増加による情報の更新に過ぎないのです。
コペンハーゲン解釈には「観測問題」があるという前世紀に散々主張されたことは無意味だったということが現在では分かっております。観測問題など元々存在しなかったのです。情報理論としての標準的なコペンハーゲン解釈での量子力学の理解は、更にどんどんと深まってきています。
人間ができる情報操作のいくつかの性質だけを原理にすれば、それから量子力学そのものが導出できる可能性も、現在多くの研究者が追求している理論物理学の重要なテーマとなっています。
大学院以降の専門的な内容になりますが、量子状態トモグラフィや量子力学が情報理論であることの解説は、『量子情報と時空の物理【第２版】』（サイエンス社）にもあります。
規格化に間違いがありました。σの２乗のトレースはこの場合２になります。
正しくは下記のようになります。
あとの話は正しいです。
ああ、まだ駄目ですね。一般の物理量にを適当に再スケールして、更に単位行列に比例した部分を加えないと。
書き直して、再投稿します。
修正版。
