1⃣ --> 2⃣
\ N |
\ |
N,E \ | E
\ |
3⃣
1⃣-->3⃣(Newton vers Navier-Stokes) est ouvert ;
1⃣-->2⃣(Newt vers Boltzmann) est quasi-fait ;
2⃣-->3⃣(Boltz vers N-S) ouvert.
Commençons donc par le cas micro vers méso 1⃣-->2⃣, la limite de Boltzmann-Grad.
Rien que *formalisation mathématique* de ce problème est difficile 😭
Il faudra attendre l'année 1975 pour avoi deux (2!) preuves DIFFÉRENTES de ce résultats #biblio
Il a montré que lorsque N tendait vers l'infini, l'équation de Boltzmann décrit correctement le comportement d'un gaz de particules
⏺️Elle est en partie fausse (mais c'est pas grave) ¯\_(ツ)_/¯
⏺️Elle n'est valide sur une échelle de temps physique correspondant à... Pas de collisions entre particules. Et pour un gaz collisionel ça craint
Ce fut résolu grâce au trio français Isabelle Gallagher, Benjamin Texier et Laure Saint Raymond en 2013 dans le travail suivant
arxiv.org/abs/1208.5753
Passons maintenant au gros morceau, à savoir la limite HYDRODYNAMIQUE 2⃣-->3⃣
C'est mon aspect favori, et c'est encore en partie ouvert !
On veut donc obtenir des fluides à partir de gaz raréfiés...
🔹Kn grand => peu de collisions => gaz raréfiés ;
🔹Kn petit => beaucoup de collisions => fluide 🤩
Très difficile.
S. Ukai utilisera cela dit ce résultat pour obtenir, un an plus tard, une première preuve d'existence de solutions "mild", proche de l'équilibre.
Et cette supposition est fausse : un vortex ou une vague c'est pas régulier.
Personne ? Non. Ronald Di Perna et Pierre-Louis Lions prouvèrent en 1994 l'existence de solutions *renormalisées* (donc bizarre) à cette équation !
« cette conjecture est souvent vraie et toujours presque vraie »
Et... non. D'abord parce que le régime de Boussinesq est un cas simplifié. Ensuite, et surtout, car les travaux de Golse et Saint Raymond portent sur des solutions fortes et de Leray. ET ON NE SAIT PAS SI ELLES EXISTENT !!!
Et le principal problème ouvert subsiste : prouver l'existence de solutions FORTES (L2 pour les spécialistes) à l'équation de Boltzmann 3D !
people.math.umass.edu/~rsellis/