Thread by @HumainCurieux

Allez, j'ai envie de faire un petit #thread sur les grands nombres, ça fait longtemps, une figure de style et un paradoxe.

Quelle est la différence entre le plus grand nombre que vous allez jamais rencontrer et le plus grand que vous pouvez imaginer? 😋

Commençons doucement.
1, 10, 100, 1000... Pas trop besoin d'en parler, on les voit partout.
Bon, on sent bien que manger 100 pains au chocolat c'est pas une super idée.
Et compter jusqu'à 1000, ça prend un peu de temps, une dizaine de minutes... Mais ça se fait.

10'000, 100'000, 1'000'000...
Un million d'€, c'est environ 71 ans de travail au Smic. Un million de mm, c'est un kilomètre.
C'est encore un nombre qui a du sens dans notre vie, mais on sent bien que c'est une quantité gigantesque à notre échelle.
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10'000'000, 100'000'000, 1'000'000'000...
Un milliard, c'est facile à dire, en français, mais à se représenter, déjà, pfiou...
Ben c'est bête, mais le même salarié au Smic que précédemment mettrait 71'144 ans à gagner un milliard d'€.
Ouais, c'est plus dur, déjà.

Un milliard de millimètres, ça fait 1'000 km. On sent bien que compter les mm avec une petite règle entre Lille et Perpignan, ça va être un peu long.

Le milliard, c'est un peu la frontière entre ce qu'on peut atteindre et ce qu'on peut encore concevoir, mais plus atteindre.

10 milliards, 100 milliards, 1000 milliards...
Vous entendrez rarement parler de sommes très supérieures à des milliers de milliards (ou billions) d'€. La France a un PIB de 2.3 billions d'€, les USA 19.4 billions de $...
Et 1 billion de mm, c'est 3 fois la distance Terre-Lune.

Si on veut continuer on n'a pas trop le choix, il faut changer d'outil: passons aux puissances de 10.
1000 milliards, c'est 10^12.
Remarquez un inconvénient de la notation: dire "10 puissance 12" est déjà moins impressionnant que "mille milliards". Et cet effet va empirer.

Si je dis "10 puissance 24" et "10 puissance 12", on réalise bien que le premier est plus grand. Mais entendre "24" et "12", ça fait penser à un rapport 2.

C'est vraiment difficile de sentir tout de suite que le second est 1000 milliards de fois plus grand que le premier.

10^24, en ordre de grandeur, c'est à peu près le nombre d'atomes / de molécules qu'il y a dans un kilogramme d'un truc.
10^24 millimètres, c'est l'ordre de grandeur du diamètre de la Voie Lactée.

D'une manière générale, la physique rend les armes entre 10^20 et 10^30, généralement. L'Univers visible est une sphère d'environ 10^33 millimètres de diamètre.

Toutefois, certaines manipulations permettent encore d'atteindre rapidement ces ordres de grandeurs tout bonnement gigantesques, et même de continuer à monter.
Prenez un jeu de 54 cartes. Le nombre de mélanges possibles du paquet est 2.3*10^71.

Le taux de dilution de granules d'homéopathie classique (hors Oscillococcinum) peut monter à 10^60 (=30CH).

Là, dans un cas on a utilisé la factorielle (54!), dans un autre cas les puissances (10^2^30).

Continuons à monter.
10^100, c'est le gogol. Je ne l'insulte pas, c'est le nom du nombre ^^'.
Bon, maintenant qu'on a un gros nombre, allez, soyons fous, on le met à l'exposant!
10^gogol, ça fait 10^(10^100), c'est le gogolplex.

Ce truc est... un monstre.
Vraiment, ce nombre est tellement, tellement plus grand que tous ceux qu'on a évoqués jusque là que c'en est ridicule.
10^100, c'est énorme. Il faut bien plusieurs dizaines de secondes pour l'écrire sous forme décimale au tableau (1'000'0...). Pénible.

Un gogolplex... Comment dire ça avec tact.
Si on écrivait assez petit pour pouvoir écrire un zéro sur chaque atome du tableau (ne réfléchissez pas trop au fait que cela n'a aucun sens), il faudrait un gros tableau.
Genre un tableau de 100 milliards de milliards d'univers, quoi.

Alors le temps qu'il faudrait pour faire ça...
Je peux bien vous dire que ça prendrait quelque chose comme 10^83 milliards d'années, mais franchement... Ça vous aide vraiment? 😅

Bon, là, c'est bon, on a un très gros nombre, on peut le dire.
Dans les grands nombres très connus, il n'en reste qu'un qui soit vraiment plus gros, le nombre de Graham.

Je vous préviens, il est encore un peu plus gros, quand même.

Petit rappel de maths, courage ça ne va pas être si dur, promis.
1 multiplication, c'est une répétition d'additions.
2*6=2+2+2+2+2+2
Facile.

1 puissance est une répétition de multiplications.
2^6=2*2*2*2*2*2.
Facile, je vous dis!

On peut aussi écrire ces puissances avec une autre notation, en "↑".
Genre 10↑2 pour 10^2.
Cette notation permet d'introduire plus facilement les puissances itérées de Knuth.

Une puissance itérée de Knuth, c'est une répétition de puissances.
2↑↑6 = 2↑2↑2↑2↑2↑2↑2 =2^2^2^2^2^2^2.
Ça monte vite, déjà.
Mais là où c'est marrant, c'est qu'on peut les répéter à l'infini.
Genre 2↑↑↑6 = 2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2↑↑2.

Vous n'avez aucune idée d'à quel point ça monte vite, ce genre de nombres.

Exemple: 3↑↑5, c'est mignon, 3↑↑5.

3↑↑5, c'est déjà environ 10^(10^3'638'334'640'023).

Une fois qu'ils avaient inventé cet instrument du démon, les mathématiciens ne se sont pas arrêtés en si bon chemin, et ont trouvé un bon moyen de le pousser dans ses derniers retranchements.

Et ils ont trouvé.

M. Ronald Graham, un beau jour de 1971, avait besoin de majorer un "n" dans ses équations, c'est-à-dire trouver un nombre que ce "n" ne dépasserait jamais.

Pour construire ce majorant, il a fait une suite.

Le principe de la suite est le suivant:
- on démarre à 4
- les nombres suivants sont de la forme " 3↑↑↑...↑↑↑3"
- le nombre de flèches dans le terme est égal au nombre précédent
- le majorant en question est le 64ème terme de la suite.

Donc voyons les premiers termes:
4, facile.
3↑↑↑↑3, ouah ça monte vite.
3↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑... non ok ça sert à rien.

Le 2ème nombre de la suite (g2) était déjà stupidement grand, mais on pouvait encore l'écrire, avec cette nouvelle notation.
Le 3ème nombre g3 nécessite dans son écriture g2 flèches. Non mais. Comment je fais, moi.

3↑3, ça fait 27.
3↑↑3, ça fait 7'625'597'484'987.
3↑↑↑3, ça fait 10^(3'638'334'640'024)
3↑↑↑↑3, je n'ai aucune chance de l'écrire autrement. Alors écrire ce nombre de flèches...

Alors juste pour rappel, le nombre de Graham, ce n'est pas ce nombre, 3↑↑↑↑3, hein. Ça, c'est g3.
Le nombre de Graham, c'est g64.

Voili voilou.
Autant vous dire que là, si vous cherchez des analogies avec des millimètres ou des euros, vous pouvez chercher longtemps.

#TheEnd

PS: Ce thread m'a été inspiré en bonne partie par les vidéos de @micmaths et @tweetsauce.
Je dois aussi remercier Tim Urban pour ses posts sur le sujet, foncez-y si vous parlez anglais.
waitbutwhy.com/2014/11/from-1…
waitbutwhy.com/2014/11/100000…

Détail que j'ai oublié de préciser (merci @Mac_Picsou) : normalement, on devrait écrire 2↑↑3 = 2↑(2↑2) et non 2↑2↑2. L'opération ne se faisant pas de gauche à droite, les parenthèses sont obligatoires!
Sauf que comme elles sont aussi très encombrantes, je les ai virées. 😅